冪律流體偏心環(huán)空流動(dòng)中的波動(dòng)壓力修正模型

李征，朱宏武，孔祥領(lǐng)，范效禮，郝健生

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）機(jī)械與儲(chǔ)運(yùn)工程學(xué)院，北京 102249；2.中國(guó)石油技術(shù)開發(fā)公司，北京 100028）＊

在石油鉆井過程中，下放鉆桿或套管時(shí)，管柱的往復(fù)運(yùn)動(dòng)會(huì)造成井眼中的壓力波動(dòng)。此壓力波動(dòng)較大時(shí)會(huì)造成井塌或井漏等事故［1－6］。Burkhardt在現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了冪律流體井內(nèi)波動(dòng)壓力的半經(jīng)驗(yàn)公式［7］。然而，Burkhardt公式僅適用于管柱軸心與井眼軸心重合的情況（同心環(huán)空），并不適用于偏心環(huán)空流動(dòng)。在傾斜井、水平井中，管柱由于重力作用，其軸線與井眼中心偏離，環(huán)空中的流動(dòng)屬于偏心環(huán)空流動(dòng)。目前，對(duì)于偏心環(huán)空層流中的壓力波動(dòng)計(jì)算主要采用2種計(jì)算方法，分別是雙極坐標(biāo)法［4］和無(wú)限細(xì)分法（把偏心環(huán)空轉(zhuǎn)化為一系列的同心環(huán)空模型疊加）［5－7］。對(duì)于偏心環(huán)空紊流流動(dòng)，主要采用CFD 模擬［8］和試驗(yàn)［9］的方法來(lái)探索其規(guī)律。本文通過CFD 數(shù)值計(jì)算，分析了環(huán)空比和偏心度對(duì)冪律流體偏心環(huán)空中壓力梯度的影響，通過數(shù)值擬合建立了Burkhardt公式中的常系數(shù)、泥漿粘附系數(shù)與偏心度和環(huán)空比之間的函數(shù)關(guān)系，從而擴(kuò)展了Burkhardt公式的適用范圍，使之可以計(jì)算冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中的壓力梯度。利用已有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)擴(kuò)展Burkhardt公式進(jìn)行了驗(yàn)證，誤差＜9%，從而驗(yàn)證了該公式的可靠性。

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)流體在偏心環(huán)空中作等溫紊流流動(dòng)，內(nèi)管作軸向運(yùn)動(dòng)。柱面坐標(biāo)系下其速度場(chǎng)為v（vz（r，θ），vr（r，θ），0），根據(jù)N－S 方程冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)的控制方程為

式中：ρ為冪律流體密度；p為環(huán)空壓力；f（r）、f（z）為重力加速度在柱坐標(biāo)系中的分量。

偏應(yīng)力分量可以表示為

式中：η為冪律流體視黏度。在本模型中η的表達(dá)式為

式中：K為冪律流體稠度系數(shù)；n為流性指數(shù)。偏心環(huán)空軸向流動(dòng)的邊界條件為

式中：vp為內(nèi)管運(yùn)動(dòng)速度，m／s；Ri、Ro為內(nèi)外管半徑，m。

求解式（1）～（7）即可得到偏心環(huán)空紊流流場(chǎng)中的各個(gè)分量（速度、壓力、流量）。但是，式（1）～（7）構(gòu)成了1組耦合的擬線性偏微分方程組，求解很困難。因此，已有的研究中多采用數(shù)值模擬和試驗(yàn)的方法。

2 Burkhardt公式

1960年，Burkhardt［3］根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了井內(nèi)波動(dòng)壓力的計(jì)算公式，其表達(dá)式為

式中：psb為波動(dòng)壓力，kPa；f為摩阻系數(shù)，無(wú)因次；Re為雷諾數(shù)，無(wú)因次；ρ為流體密度，g／cm3；L為運(yùn)動(dòng)管柱長(zhǎng)度，m；dh，do分別為內(nèi)外管直徑，m；為環(huán)空平均流速，m／s。

式中：vi為環(huán)空入口流速，m／s；vP為由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速；Kc為泥漿粘附系數(shù)，無(wú)因次，在冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中取0.5。

在下套管過程中，套管攜帶一部分流體隨套管一起向下運(yùn)動(dòng)，在井底上返進(jìn)入環(huán)空中。泥漿粘附系數(shù)代表了套管攜帶流體能力的大小，進(jìn)而影響環(huán)空中的平均流速。由式（8）～（9）可以看出，同心環(huán)空中波動(dòng)壓力與泥漿粘附系數(shù)呈現(xiàn)正相關(guān)趨勢(shì)。

Burkhardt公式僅適用于同心環(huán)空流動(dòng)。將Burkhardt公式中的常數(shù)1.96用字母A 代替，其余參數(shù)不變。式（8）變?yōu)?/p>

當(dāng)環(huán)空內(nèi)外管尺寸和流體性質(zhì)保持不變，流場(chǎng)從同心環(huán)空變?yōu)槠沫h(huán)空時(shí)，只有常數(shù)A 與泥漿粘附系數(shù)Kc受到影響，其余參數(shù)保持不變。本文通過CFD 數(shù)值計(jì)算，得到不同環(huán)空比n 和偏心度e 對(duì)常數(shù)A 和泥漿粘附系數(shù)Kc的影響規(guī)律，將Burkhardt公式推廣到偏心環(huán)空的情形。

3 數(shù)值模擬

取偏心環(huán)空內(nèi)管直徑dh為24.45cm，環(huán)空比n＝do／dh依次取值0.3、0.4、0.5、0.6，偏心度e＝2r／（dh－do），式中r為偏心距。e依次取值0.25、0.5、0.75、1.00，在Fluent中建立如圖1所示模型。環(huán)空入口流速vi＝1.35 m／s，內(nèi)管運(yùn)動(dòng)速度vp從0.4m／s到1.2m／s均勻遞增。

圖1 數(shù)值計(jì)算模型

由于模型中只是選取了套管下入時(shí)的井眼環(huán)空中的1段進(jìn)行模擬，環(huán)空入口處隨套管運(yùn)動(dòng)的部分流體并沒有上返進(jìn)入環(huán)空中，因而計(jì)算結(jié)束時(shí)，入口處截面上的平均流速會(huì)減小，這部分減小的流速即為由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速，用Δvi表示，則可用Δvi的變化代表泥漿粘附系數(shù)的變化。

式中：vil為計(jì)算后的入口截面平均流速。

假設(shè)同心環(huán)空中由泥漿粘附力所造成的環(huán)空流速為Δvic，偏心環(huán)空中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)為Δvie，根據(jù)式（9）偏心環(huán)空中的泥漿粘附系數(shù)可以表示為

式中：Kce為偏心環(huán)空中的泥漿粘附系數(shù)。

根據(jù)式（9）即可得到偏心環(huán)空中的平均流速。將不同偏心度下的和CFD 計(jì)算得到的環(huán)空波動(dòng)壓力psb代入公式（10）即可求得不同偏心度下的常數(shù)A。定義偏心環(huán)空中泥漿粘附系數(shù)和常系數(shù)與同心環(huán)空中對(duì)應(yīng)參數(shù)的比值為ΔKc、ΔA。

4 計(jì)算結(jié)果分析

通過CFD 計(jì)算得到了不同偏心度與環(huán)空比條件下的波動(dòng)壓力與入口截面的平均流速，經(jīng)過前面所述的計(jì)算即可得到不同環(huán)空比n和偏心度e 下的常系數(shù)A 和泥漿粘附系數(shù)Kce與同心環(huán)空下對(duì)應(yīng)參數(shù)的比值ΔKc、ΔA。

如圖2所示為環(huán)空比n＝0.6時(shí)同心環(huán)空中波動(dòng)壓力隨套管下放速度的變化曲線。將本文數(shù)值模擬的結(jié)果與Burkhardt公式的計(jì)算結(jié)果相比，誤差最大值為4%，說(shuō)明本文的數(shù)值模型能夠正確地模擬環(huán)空井眼壓力波動(dòng)。

圖2 同心環(huán)空中波動(dòng)壓力隨內(nèi)管軸向速度變化曲線

圖3給出了當(dāng)環(huán)空比n＝0.6時(shí)ΔKc隨軸向速度的變化曲線，當(dāng)軸向速度從0.4增大到1.2時(shí)ΔKc變化很小，最大變化量為6%，可以認(rèn)為在冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中ΔKc不發(fā)生變化，這表明偏心環(huán)空流動(dòng)中泥漿粘附系數(shù)Kc不隨套管運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生變化，這與同心環(huán)空流動(dòng)［1］中的規(guī)律一致。

圖3 ΔKc隨內(nèi)管軸向速度變化曲線

圖4為ΔKc在不同的環(huán)空比下隨偏心度的變化曲線。在不同的環(huán)空比下ΔKc隨偏心度的變化趨勢(shì)與波動(dòng)壓力相同，這表明泥漿粘附系數(shù)隨偏心度的變化趨勢(shì)與波動(dòng)壓力相同，這與同心環(huán)空中由Burkhardt公式得出的規(guī)律一致。

由圖4可知：隨著環(huán)空比的增大，環(huán)空中的波動(dòng)壓力增大，這與汪海閣［6］等人得出的層流理論的規(guī)律相同。同樣，由圖4還可以看出：在環(huán)空比較大時(shí)（n＝0.6），環(huán)空中的波動(dòng)壓力隨偏心距的增大而減小，這與汪海閣［6］等人的結(jié)論是一致的。當(dāng)環(huán)空比較小時(shí)（n≤0.5），波動(dòng)壓力隨著偏心度的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，這與張艷娟［9］的試驗(yàn)結(jié)果一致。

圖4 ΔKc隨偏心度變化曲線

根據(jù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果所求得的不同環(huán)空比和偏心度下的ΔKc，ΔA 如表（1）～（2）所示。

表1 不同環(huán)空比和偏心度下的ΔKc

表2 不同環(huán)空比和偏心度下的ΔA

根據(jù)表1～2中的數(shù)據(jù)擬合出冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中泥漿粘附系數(shù)Kc和常系數(shù)A 關(guān)于環(huán)空比n 和偏心度e的函數(shù)，即

根據(jù)式（10）、（13）、（14）可求得在任意環(huán)空比和偏心度下的冪律流體偏心環(huán)空波動(dòng)壓力。在環(huán)空比為0.76的條件下，利用Haciislamoglu［10］的公式對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，其結(jié)果如圖5所示，最大誤差為9%。

圖5 波動(dòng)壓力隨偏心度變化曲線

5 結(jié)論

通過CFD 計(jì)算得到了不同環(huán)空比和偏心度下的泥漿粘附系數(shù)和Burkhardt公式中的常系數(shù)，從而將Burkhardt公式推廣到偏心環(huán)空的情形。數(shù)值模擬結(jié)果表明：當(dāng)環(huán)空比n＞0.5時(shí)，冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中的波動(dòng)壓力隨偏心距的增大而遞減；當(dāng)環(huán)空比n≤0.5時(shí)，波動(dòng)壓力隨著偏心度的增大而呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，這與已有文獻(xiàn)中的結(jié)論一致；最后，將得到的擴(kuò)展Burkhardt公式的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，誤差＜9%，表明該公式能夠有效計(jì)算冪律流體偏心環(huán)空紊流流動(dòng)中的波動(dòng)壓力。

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