超冪零群的性質研究

張 佳，郭繼東

（伊犁師范學院 數學與統計學院，新疆 伊寧 835000）

超冪零群的性質研究

張 佳，郭繼東*

（伊犁師范學院 數學與統計學院，新疆 伊寧 835000）

冪零群的研究一直是有限群理論研究的重要組成部分。我們知道冪零群G存在正規群列：G=G1?…?Gr=1，因子群GiGi+1≤Z(GGi+1)。本文研究冪零群的推廣。假設群的因子群是超中心的及GiGi+1是循環群，在此基礎上，引出超冪零群的概念。利用有限群理論對有限超冪零群的性質進行研究，得到一些有意義的結果。

超中心；群列；超冪零群；特征子群

1 引言及預備知識

有限群的可解性質和冪零性質一直是有限群理論研究的熱點，國內外群論工作者對此做了許多研究，取得了很多成果［1-14］，這些研究對有限群的同構分類有很大的作用。我們知道，超可解群是冪零群的推廣，對群的超可解性和冪零性也有很多研究成果。本文主要研究介于這兩種性質之間的群的性質。首先引出超冪零群的概念，進而對這類群的性質做研究。

定義2 設G是群，如果G有正規群列：G=G1?…?Gr=1，使得GiGi+1是循環群，且GiGi+1≤Z∞(GGi+1)(i=1，2，…，r)，那么稱此群列是G的超中心群列。

定義3 具有超中心群列的群稱為超冪零群。

本文所討論的群均是有限群。本文的 A是G的特征子群，記 AcharG，所用符號參照文獻［1］。

引理1［15］設A?A，B=A∪B，則A∪BA?BA∩B。

引理2 若G是有限群，A≤G，則Z∞(G)∩A≤Z∞(A)。

證明 因為G是有限群，所以只須證明：Zn(G)∩A≤Zn(A)，n∈Z+。

因為G的任意性，所以，對n運用數學歸納法。當n=1時，Z1(G)∩A≤Z1(A)顯然成立。

假設n=k時，Zk(G)∩A≤Zk(A)。則當 n= k+1時，因為

A∩[Zk+1(G)，G]≤Zk(G)∩A=Zk(A)，所以，[A∩Zk+1(G)，A]≤Zk(A)。

又因為Zk+1(A)Zk(A)=Z(AZk(A))，所以，A∩Zk+1(G)≤Zk+1(A)。

綜上所述，由歸納法可知，Zn(G)∩A≤Zn(A)，即Z∞(G)∩A≤Z∞(A)。

引理3［15］若G是群，A和 B是G的子群，且G=A×B，N?A，則G N?(A N)×B。

引理4 若A和B是有限群，則Z∞(A×B)= Z∞(A)×Z∞(B)。

證明 因為A和B是有限群，所以只須證明

2 主要結果及其證明

定理1 超冪零群的子群和商群是超冪零群。

證明 設G是超冪零群，則G有一超中心

群列G=G1?…?Gr=1。

考慮G的任意子群H，構造H的正規列H≤Z∞(G)。

證明 由引理7，推論顯然成立。

定理5 冪零群、超冪零群、超可解群有如下關系：

冪零群?超冪零群?超可解群。

證明 由三者的定義，顯然上述關系成立。

下面舉例說明上述關系。

1）冪零群?超冪零群

例1 設G是有限內循環群，|G|=pqm，且G的Sylow-p子群H正規，Sylow-q子群K循環不正規，即G=a，b。定義關系：ap=1，bqm=1，b-1ab=ar，p，q是互異的素數，m，r是正整數。參數滿足：r與1模6不同余，即rq≡1 mod(6)。

顯然，G是內冪零群，即G不是冪零群，但是，G存在正規群列：G?H?1。由內冪零群的性質，易證此列是超中心群列。所以，G是超冪零群。

2）超冪零群?超可解群

例2 設有 pq階非交換群G，(p＜q)。

顯然，G是超可解的。但是，因為G的q階子群 Q正規于 G，所以，G有正規群列：G?Q?1。顯然，此列不是超中心群列，所以，G不是超冪零群。

綜上所述，我們得到三者的關系：冪零群?超冪零群?超可解群。

注 定理5表明，超冪零性刻畫了冪零群與超可解群之間的群的結構性質。

［1］ 徐明矅.有限群導引：上冊［M］.北京：科學科技出版社，1987.

［2］ 陳重穆.有限群論基礎［M］.重慶：重慶出版社，1983.

［3］ 聶靈沼，丁石孫.代數學引論［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［4］ Gaglione A M，Lipschutz S，Spellman D.Some proper?ties of nilpotent groups［J］.Algebra and Discrete Mathe?matics，2009（4）：66-77.

［5］ 曾利江.子群指數給出的超可解群的一個充要條件［J］.河南大學學報：自然科學版，2010，40（2）：119-121.

［6］ 曾利江.關于冪零群一個定理的推廣［J］.山東大學學報：理學版，2007（4）：91-94.

［7］ 李保軍，Alexander N S.有限超可解群的新描述［J］.中國科學：A輯，2008，38（1）：8-20.

［8］ Robinson D J S.A course in the theory of groups［M］. 2th ed.New York：Springer-Verlag，2003：28.

［9］ 張遠達.有限群構造：上冊［M］.北京：科學出版社，1982.

［10］Robinson D J S.A coure in the theory of groups［M］. New York：Springer-Verlag，1980.

［11］張曉娜，錢方生.有限冪零群的兩個充分條件［J］.哈爾濱師范大學：自然科學版，2011，27（2）：25-26.

［12］Li Q L，Li X L，Mao Y M.A class of generalized nilpo?tent groups［J］.Iranian Journal of Mathematical Scienc? es and Informatics，2009，4（2）：49-54.

［13］Chen K L.Finite nilpotent groups with automorphism group of order 8p2q［J］.South Asian Journal of Mathe?matics，2011，1（2）：63-67.

［14］趙可琴，陳鐵生，魯麗萍.關于有限冪零群的兩個結果［J］.河南師范大學：自然科學版，2011，39（5）：28-30.

［15］楊子胥，宋寶和.近世代數習題解［M］.濟南：山東科學技術出版社，2006.

Research of Properties of Super Nilpotent Group

ZHANG Jia，GUO Ji-dong
（College of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，Xinjiang，China）

The research of nilpotent groups is a important part of the research of finite groups' theory.The research report of nilpotent groups is plentiful.Decribing properties of nilpotent groups is also difficult.As known，nilpotent groupsG have a normal subgroups series：G=G1?…?Gr=1 which makes GiGi+1≤Z(GGi+1)(i=1，2，…，r)discusses the generalization of nilpotent groups. Assumes that the factor group is super central andGiGi+1is cyclic group.According to it，intro?duces a definition of super nilpotent groups.Discuss super nilpotent groups'properties with using the theory of finite groups，obtains some meaningful conclusions.

super center；group series；super nilpotent group；characterization subgroup

O152.1

：A

：1673-0143（2013）01-0023-04

（責任編輯：強士端）

2012－09－23

國家自然科學基金資助項目（11071229）；新疆自然科學基金（2010211A38）；新疆伊犁師范學院2012年度大學生課題（2012YJS013）

張 佳（1988—），男，碩士生，研究方向：群論。

*通信作者：郭繼東（1965—），男，教授，碩士生導師，研究方向：代數學、復分析與調和分析。

E-mail：guojd662@yahoo.com.cn