考慮偏心及繞組耦合的無軸承永磁同步電機建模

孫曉東 陳 龍 楊澤斌 朱秋 左文全 施 凱

（1．江蘇大學汽車工程研究院 鎮江 212013 2.江蘇大學電氣信息工程學院 鎮江 212013）

1 引言

磁軸承是近三十年發展起來的一種新型高性能軸承，具有無摩擦、無磨損、不需潤滑及密封、高速度、高精度及壽命長等優點，已在能源交通、機械加工工業、航空航天及機器人等領域獲得了實際應用[1,2]。然而由于磁軸承體積及激勵功率大，導致磁軸承支承的電機結構尺寸和成本增大，臨界轉速降低，使其在大功率和微型應用場合受限制。無軸承電機是依據磁軸承和傳統交流電機結構的相似性，將磁軸承技術和電機相結合提出的一種新型特種電機。與磁軸承支承的電機相比，無軸承電機尺寸小、功率密度高，能同時實現高轉速和大功率，因此無軸承電機具有比磁軸承更廣闊的應用前景。

無軸承電機的種類很多，其中結構簡單、運行可靠、 功率密度大的無軸承永磁同步電機（BPMSM）受到了高度重視[3-13]。BPMSM 是在傳統永磁同步電機的定子上增加了一套懸浮力繞組，其激勵的懸浮力繞組氣隙磁場與原有的永磁同步電機的氣隙磁場（永磁體激勵的磁場與轉矩繞組激勵的磁場，這兩部分磁場合稱為“轉矩繞組氣隙磁場”）相疊加。通過調節懸浮力繞組電流以改變氣隙磁場的分布，利用轉子一對極兩側的氣隙磁場不平衡作用產生的作用于轉子上的徑向懸浮力，實現轉子的穩定懸浮。

BPMSM 本體的設計和控制策略的研究、設計及分析都需要以準確的數學模型為理論依據，因此數學模型的研究一直受到相關學者的關注。BPMSM兩套繞組共同作用產生徑向懸浮力，電磁轉矩和徑向懸浮力之間，以及徑向兩自由度懸浮力之間存在耦合關系，而且BPMSM 實際運行過程中還存在定轉子偏心，使得BPMSM 相對于傳統的永磁同步電機而言，是一個更為復雜的非線性、強耦合系統，這就給BPMSM的數學建模增加了難度。

文獻[5]通過實驗方法確定了表面貼裝式BPMSM的電感系數，進而利用虛位移方法確定了BPMSM 徑向懸浮力模型，該方法所用參數需要通過實驗測得，計算量較大，而且實驗測量容易引起較大的誤差，文獻[6,7]分別對插入式、埋入式BPMSM 做了深入研究，由轉矩繞組與懸浮力繞組交鏈的磁鏈方程得出電磁能數學表達式，再對該電磁能表達式求偏導得出轉子受到的徑向懸浮力表達式，文獻[8]研究了具有4 極轉矩繞組和2 極懸浮力繞組的無軸承電機通用可控徑向懸浮力解析模型，分別對凸極型無軸承同步磁阻電機、圓柱形無軸承異步電機和表面貼裝式 BPMSM 進行對比研究，并進行了徑向懸浮力的靜力實驗和分析，驗證了通用可控徑向懸浮力解析模型的有效性和正確性，文獻[5-8]對BPMSM 數學模型的研究僅僅停留在徑向懸浮力上，并未涉及電機的電磁轉矩方程，而且對定轉子偏心情況下的徑向懸浮力與電磁轉矩之間的影響沒有展開研究。文獻[9]利用機械/電氣坐標系變換建立了 BPMSM 轉矩繞組與懸浮力繞組的磁鏈與電壓方程，通過分析BPMSM 內的各部分洛侖茲力確定了電磁轉矩方程，在分析BPMSM 各部分徑向懸浮力數學表達形式的基礎上，得出BPMSM 徑向懸浮力方程的完整形式。該方法建模概念清晰、簡單直觀、易于理解，但是并未將轉矩方程與徑向懸浮力方程統一起來，沒有考慮兩者之間的耦合關系。

本文首先介紹了BPMSM的徑向懸浮力產生原理，針對無軸承電機相關電感參數難以準確實驗測量，從而難以得到徑向懸浮力和電磁轉矩較為準確的數學模型的問題，根據電機磁路原理，用解析法推導出BPMSM各電感參數較為準確的解析計算模型，并基于此電感模型推導出BPMSM的徑向懸浮力和電磁轉矩的解析模型。由于該方法充分考慮了定轉子偏心狀況時徑向懸浮力與電磁轉矩之間的耦合關系，因此采用該方法后，BPMSM系統的靜、動態性能得到顯著改善。最后在一臺表面貼裝式BPMSM實驗樣機上進行了實驗研究，實驗結果驗證了該數學模型的優良特性。

2 BPMSM 徑向懸浮力產生原理

當BPMSM轉矩繞組極對數pM=1，且懸浮力繞組極對數pB=2時，BPMSM徑向懸浮力產生原理如圖1所示，四極懸浮力繞組NBα和NBβ與二極轉矩繞組NMα和NMβ一起疊壓在定子槽內，通過懸浮力繞組電流所產生的四極磁通ψ4打破二極氣隙磁通ψ2的平衡來產生徑向懸浮力。當轉子位于中心位置時，對稱的二極磁通ψ2由永磁體產生，電機在空載運行時，轉矩繞組電流產生的磁通比較小，可以忽略不計。如果NBα和NBβ中不通入電流，ψ2是平衡的，不產生徑向懸浮力。當NBα中通入正向電流之后，產生的ψ4如圖1a所示，導致在轉子右側氣隙1處的磁密增強，轉子左側氣隙3處的磁密減弱，產生沿α軸正方向的徑向懸浮力，從而使轉子向α軸正方向偏移；如果NBα中通入相反方向的電流，則會產生一個沿α軸負方向的徑向懸浮力。同理，圖1b為β方向的徑向懸浮力產生原理圖，繞組NBβ與NBα在電氣坐標系中互相垂直，當NBβ中通入正向電流之后，產生的ψ4打破了ψ2的平衡，導致在氣隙1′和氣隙2′處的磁密增強，而氣隙3′和氣隙4′處的磁密減弱，產生沿β軸正方向的徑向懸浮力，從而使轉子向β軸正方向偏移；如果NBβ中通入相反方向的電流，則會產生一個沿β軸負方向的徑向懸浮力。因此，通過控制懸浮力繞組NBα和NBβ中的電流就可以控制徑向懸浮力的大小和方向，從而實現轉子的穩定懸浮。

圖1 徑向懸浮力產生示意圖Fig.1 Producing principles of radial suspension forces

3 BPMSM 電感矩陣模型

實際BPMSM 中繞組為三相，由于三相繞組經3/2 變換可等效為兩相繞組，為簡便計，本文以兩相等效繞組為例進行推導。α-β坐標系為靜止直角坐標系，其坐標原點位于定子中心線上。圖 2 為BPMSM 定轉子產生偏心時的示意圖。轉子外表面和定子內表面之間的氣隙長度g(θ)可以寫為轉子在α和β方向上的偏心距離。設圖中O′(α，β)為偏心轉子軸心的坐標；R為定子內半徑；r為轉子外半徑；g0為單邊平均氣隙長度；Δg為偏心氣隙長度，從而g(θ)可表示為

式中θ——沿定子內表面逆時針機械角度；

α，β——轉子沿α、β方向的徑向位移。

圖2 轉子偏心示意圖Fig.2 Sketch of rotor eccentricity

考慮到BPMSM 在懸浮運行過程中，轉子偏心位移一般遠小于電機的單邊平均氣隙長度，故轉子偏心的平方項(Δg)2可忽略不計，則氣隙長度倒數可表示為

則作用在圓周 dθ弧度內的氣隙磁導分布函數為

式中μ0——空氣磁導率；

l——轉子鐵心有效長度。

在圖1 中，定義轉矩繞組和懸浮力繞組的a 相繞組軸線重合且位于α軸線上。轉矩繞組每相串聯有效匝數為WM，懸浮力繞組每相串聯有效匝數為WB，在等效原則下，假設各繞組為整距集中繞組，則繞組沿氣隙的分布為一周期性矩形波。通過傅里葉分解，可將周期性矩形波分解為基波和一系列奇次諧波，這里只考慮基波繞組，此時基波繞組在空間按正弦規律分布，其中基波的幅值為矩形波幅值的4/π，記為K，則各繞組沿氣隙圓周的匝數分布規律可表示為

如果BPMSM 空載運行，則各相正弦繞組（或等效正弦繞組）中流過的對稱正弦電流為

式中iMa，iMb——轉矩繞組電流α軸與β軸分量（包括轉子永磁體激勵的磁場等效至轉矩繞組中的電流部分）；

iBa，iBb——懸浮力繞組電流α軸與β軸分量；

若忽略電機鐵心磁路壓降以及鐵心磁飽和的影響，則沿定子內表面dθ弧度內的氣隙磁通量dφMa(θ)可以表示為（以a 相為例）

式中VMa——由轉子偏心所產生的轉子磁位偏移。

根據高斯定律，氣隙磁通量dφMa(θ)沿氣隙圓周的積分為零，則可以計算出轉子偏心引起的轉子磁位VMa表達式為

同理可以計算出

則BPMSM 在電機轉子外表面dθ弧度內產生的各相氣隙磁通變化規律為

根據磁鏈和電流的關系，可定義出BPMSM的轉矩繞組自感矩陣LM、懸浮力繞組自感矩陣LB以及兩套之間的互感矩陣M分別為

將式（4）、式（5）、式（9）代入式（10），對各電感矩陣參數進行計算，得到電感矩陣模型為

式中LM，LB——轉矩繞組和懸浮力繞組的自感系數，

M——兩套繞組的互感系數，且

4 BPMSM 數學模型

4.1 徑向懸浮力方程

由于電機的磁場儲能反映為繞組激磁電流在繞組電感中的儲能，如果忽略電機磁路飽和與鐵心磁壓降，則電機氣隙磁場儲能Wm可表示為

式中i——兩相靜止坐標系下的電流矢量，

根據虛位移原理，徑向懸浮力可表示為電磁能Wm對位移的偏導，對式（12）求偏導，得到的α、β方向上的徑向懸浮力為

用式（5）中的iMa與iMb代入，此時式（13）可表示為

對于懸浮力繞組電流矢量控制，若采用以下PARK 逆變換公式

式中iBd，iBq——懸浮力繞組電流在兩相旋轉坐標系下的d 軸與q 軸分量。

則式（14）變為

式中If——轉子永磁體激勵的磁場等效至轉矩繞 組中的電流部分；

iMd，iMq——轉矩繞組電流在兩相旋轉坐標系下的

d 軸與q 軸分量；

另外，BPMSM 轉子受到的徑向懸浮力還包括由于轉子偏心引起氣隙磁場分布不均而產生的徑向懸浮力。這部分徑向懸浮力隨轉子偏心程度的增加而增大，而且兩者之間成正比例關系，比例系數與轉矩繞組電流平方成正比例關系[14]。由電機氣隙磁場的均勻性與對稱性可知，這種正比例關系在α、β方向上是等同的。該部分徑向懸浮力可表示為

式中，K=kd+kq，kd與kq均為常數。

綜合式（16）與式（17），得到BPMSM的徑向懸浮力方程為

4.2 電磁轉矩方程

由于負載變化、外在干擾以及徑向位移檢測誤差，將會導致BPMSM 懸浮運行時定轉子中心并不重合，總是存在偏心，因此轉矩繞組和懸浮力繞組之間存在大小隨轉子位移成正比變化的互感，此時電磁轉矩與徑向懸浮力之間的耦合關系更加復雜，故必須考慮懸浮力繞組對電磁轉矩的影響。在兩相旋轉坐標系下，轉矩繞組和懸浮力繞組的電流可以表示為如下矢量形式

則式（12）表示的電機氣隙磁場儲能Wm可改寫為

根據虛位移原理，電磁轉矩可表示為電磁能Wm對轉子位置角的偏導，因此電磁轉矩方程為[15]

由式（21）可以看出，當考慮定轉子偏心情況時，除了第1 項為轉子永磁體等效勵磁電流與轉矩繞組電流相互作用產生的電磁轉矩，與傳統表面貼裝式永磁同步電機電磁轉矩公式相同外，后面4 項體現了懸浮力繞組對電磁轉矩產生的影響。

5 實驗驗證

本文以一臺表面貼裝式BPMSM 為實驗樣機進行了實驗研究。實驗樣機參數如下：功率1kW，定子外徑130mm，定子內徑69mm，轉子外徑67mm，永磁體厚度2mm，電機氣隙2mm，36 槽，電機轉矩繞組電阻2.01Ω，直軸和交軸電感0.008H，懸浮力繞組電阻1.03 Ω，直軸和交軸電感0.003H，兩套繞組互感為0.000 16H，轉動慣量0.007 69kg·m2，輔助機械軸承氣隙為0.5mm。

為了驗證本文模型推導的正確性，以轉矩繞組為例，將轉矩繞組交直軸電感的理論計算值與測量值進行了比較，結果見下表。從表可以看出，理論值與測量值十分接近。

表 轉矩繞組交直軸電感的理論值與測量值比較Tab. Comparison between measured inductance and theoretical one(dq-axis)of torque windings

當轉矩繞組采用iMd=0的矢量控制時，轉矩繞組的表達式可以表示為

此時相應的BPMSM 矢量控制框圖如圖3 所示。

圖3 BPMSM 控制系統框圖Fig.3 Control system block diagram of the BPMSM

為了驗證本文所提出建模方法的有效性，對采用本文模型（簡稱為新模型）及未采用本文模型（簡稱為原模型）兩種情況進行了實驗研究，其中原模型的具體建模過程可參考文獻[16]，并且兩種模型均是采用iMd=0的矢量控制，圖4 和5 所示分別為采用原模型和新模型時實驗樣機的穩、動態實驗波形。其中，圖4a 和5a 為實驗樣機在轉速恒定為1 200r/min 時，電機的徑向位移波形，從上向下依次為α、β方向上徑向位移。圖4b 和5b 為α與β方向上徑向位移關系波形，圖4c 和5c 為實驗樣機從600r/min 升速到1 200r/min 時的動態過程試驗波形，圖4d 和5d 為轉速變化過程中轉子α方向徑向位移的動態變化曲線。

從圖4a 和5a，及圖4b 和5b的比較可知，轉子在α、β方向上總的位移幅值范圍減小，穩態懸浮精度由原來的±40μm 左右提高到±35μm 左右，峰-峰值從原來的小于80μm，提高到小于70μm；從圖4c 和5c 比較，及圖4d 和5d 比較可知，實驗樣機從600r/min 動態升速到1 200r/min 所需的時間由原來的1.6s 縮短到0.8s。這說明，采用本文模型時有效地提高了電機懸浮運行時的穩態精度和動態響應速度，實驗樣機的動、穩態試驗結果表明了本文研究方法的可行性和有效性。

圖4 原模型穩態和動態實驗波形Fig.4 Static and dynamic waveforms of previous model

圖5 新模型穩態和動態實驗波形Fig.5 Static and dynamic waveforms of new model

6 結論

根據電機磁路原理，詳細分析推導出了BPMSM 電感系數和電感矩陣解析計算模型，并基于該電感矩陣模型和電機電磁場虛位移原理，建立BPMSM 徑向懸浮力和電磁轉矩的計算公式。充分考慮了在定轉子偏心情況下，懸浮力繞組對電磁轉矩的耦合影響，為電機運行狀態的分析和無軸承電機的本體設計提供了可靠的理論依據。實驗分析結果表明，利用該模型能更好的實現電機在穩、動態場合下的穩定懸浮運行，從而為BPMSM 走向實用化提供了一種有效手段。

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