帶Brown運動的隨機奇異積分的存在性

殷承元

(上海財經大學應用數學系,上海 200433)

帶Brown運動的隨機奇異積分的存在性

殷承元

(上海財經大學應用數學系,上海 200433)

在軌跡二階導數具有H¨older連續的條件下,利用高階奇異積分思想和概率極限的理論,研究了在Brown運動下的隨機奇異積分.得到了以Brown運動為積分元的隨機奇異積分是存在性定理.

隨機奇異積分;Brown運動;隨機基

1 引言

奇異積分理論和應用非常重要,文獻[1-2]做過了大量開創性工作.隨機積分也日益發展[3].文獻[4]討論了簡單的隨機奇異積分.本文在文獻[5-6]基礎上,探討在Brown運動下的一類奇異積分.

設?是一個完備的概率空間,其中A是?上的一個σ-代數,P是關于這個σ-代數的概率測度.記F是滿足通常條件的過濾,(?A,P,F)是隨機基,Wt=W(t,ω),t∈R+是Brown運動.

設過濾F在時刻t的σ-代數為Ft,f(t,τ,ω)是R+×R×?,上的函數,對每個t≥0, f(t,τ,ω)關于σ(B[0,t]×B(R)×Ft)可測.本文將討論下列的奇異積分:

這里Γ是R+中的區間.通常情況下,

是發散.本文將利用高階奇異積分的思想引入這個帶Brown運動的奇異積分.

2 結果與證明

[1]路見可.解析函數邊界問題[M].武漢:武漢大學出版社,2009.

[2]Du Jinyuan.Singular integral operators and singular quadrature operators associated with singular integral equations[J].Acta.Math.Sci.,1998,18(2):227-240.

[3]P′eter Medvegyev.Stochastic Integration Theory[M].Oxford:Oxford University Press,2007.

[4]王傳榮.隨機奇異積分的存在定理[J].福州大學學報:自然科學版,2004,32(4):393-396.

[5]殷承元.閉復超球上的普里瓦洛夫定理[J].安徽大學學報:自然科學版,1990,14(3):6-11.

[6]殷承元.第三類典型域上的Cauchy型積分[J].純粹數學與應用數學,2002,18(1):6-20.

Existence of singular integral with Brown motion

Yin Chengyuan
(Applied Mathematics Department,Shanghai University of Finance&Economics,Shanghai200433,China)

In the note,random singular integral with Brown motion is investigated.If the second derivative of the integrand is H¨older continuous,by the theories of higher singular integral and limit with respect to probability,the random singular integral with integrator of Brown motion exists in probability limit.

random singular integral,Brown motion,stochastic basis

O211

A

1008-5513(2013)03-0221-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.001

2013-03-15.

國家自然科學基金(11271240);上海財經大學211工程項目.

殷承元(1958-),博士,教授.研究方向：基礎數學與概率.

2010 MSC:47B06,47B38