無刷直流電機狀態方程系數矩陣的動態更新

杜鵬，謝俊

（南京郵電大學自動化學院，南京 210046）

無刷直流電機狀態方程系數矩陣的動態更新

杜鵬，謝俊

（南京郵電大學自動化學院，南京 210046）

在無刷直流電機控制系統的仿真中如何快速動態地求解無刷直流電機的狀態方程組是一個關鍵問題。在Matlab/Simulink環境中，利用C語言形式的系統函數來構建仿真模塊，可靈活快速地實現復雜系統的仿真建模。把系數矩陣放在靜態變量存儲區，可直接修改狀態方程組的系數矩陣，達到快速修改此系數矩陣的目的。另外，在每個仿真步長的輸出階段修改系數矩陣，達到了動態更新的目的。仿真結果表明，文中所提方法可快速實現無刷直流電機控制系統的仿真，并可方便地用于驗證無刷直流電動機的控制算法和策略。

狀態空間方程組；系統函數；無刷直流電機；仿真

在研究無刷直流電機的過程中，需要建立無刷直流電動機BLDCM控制系統的模型，并根據數學模型采用適當的仿真技術。為了研究控制算法的有效性和觀察BLDCM的動態性能，在仿真中需要動態地求解狀態空間方程，即動態地改變狀態空間方程的參數矩陣。

文獻[1-2]研究了如何使用Matlab/Simulink以及電力系統模塊集來仿真BLDCM，雖然該方法使用方便運行穩定，但是電力系統模塊集是封裝好的，關鍵模塊的工作機理不清楚，在驗證控制器的控制策略時受到限制。而且所使用的解法器采用固定仿真步長，性能上的改進只能采用減小仿真步長來實現，而這又會極大地增加仿真所用時間。因此尋求在Matlab/Simulink中完全自己實現的并且具有相當精度的仿真模塊，具有一定的意義。在這方面國內外諸多學者做了有益的探索。文獻[3]利用有限狀態機對電機的控制回路進行仿真，簡化控制算法的驗證過程，但其研究出發點僅僅是電機的控制部分，對仿真中相電流的控制沒有特別考慮。文獻[4]和文獻[5]對無刷直流電動機的驅動和控制的工作過程進行了仿真，但是其著眼點主要在于控制系統部分，沒有對仿真精度進行分析處理，忽略了換相電流的動態過程，不夠準確。文獻[5]采用系統函數對無刷直流電機本體及驅動電源部件進行仿真，由于沒有使用C-MEX形式的系統函數，不能對相電流的動態過程做細致的控制。MEX從字面上看是Matlab和EXecutable兩個單詞的縮寫，MEX文件是由C或Fortran語言編寫的源代碼，經Matlab編譯器處理而生成的二進制文件，如果源文件是C，那么把生成的MEX文件稱為C-MEX。在Simulink中可以使用C語言來編寫可以直接調用的系統函數，這種由C語言源文件所編譯生成的系統函數稱作C-MEX S-Function （C-MEX系統函數）。文獻[6]在仿真精度控制方面做了研究，考慮了換相電流的暫態過程，但是只進行了初步的分析，而且只考慮了從兩相通電到兩相通電的情形。另外，文獻[6]沒有使用C-MEX形式的系統函數，其對相電流的控制很難做到很精確。文獻[7]使用C-MEX形式的系統函數實現了永磁同步電機的仿真，對于理解電機的控制和如何使用C-MEX形式的系統函數方面有借鑒意義。

綜上，雖然對于無刷直流電動機的建模方面已經研究得很充分了[8-9]，但是在仿真部分，目前的仿真技術還不是很理想。本文實現了具有高精確度的BLDCM仿真系統（不是建模）。采用C-MEX系統函數來求解電機本體的狀態空間方程組，可以動態改變方程組的系數矩陣。采用C-MEX系統函數執行速度快，且可以很方便地移植到以數字信號處理器為核心所構成的控制平臺中，既能快速驗證電動機的控制算法，又能快速建立控制器原型[10]。

1 電機本體的狀態方程

三相無刷永磁直流電動機系統由控制子系統、驅動子系統和電動機本體三個模塊組成。建模主要是指驅動電源和電機本體而言的。驅動電源有很多形式，本文中采用比較常用的恒壓源的形式；所使用的電機本體的數學模型也是學術界普遍采用的，很多實際因素的考慮都是理想的。

電機本體的狀態空間方程：

式中：x=[iaibwm，為狀態向量；u=[vabvbc，為輸入向量；T表示矩陣的轉置，即x，u都是列向量；A，B分別為

電機三相定子繞組采用星形接法，三相繞組完全對稱。ia，ib，ic分別是三相繞組的相電流，單位為（A），規定流進繞組方向為正；wm是轉子的角速度，單位是（rad/s），規定轉子逆時針加速轉動wm為正方向；Rs是定子繞組的電阻，單位是（Ω）；vab是A相和B相之間的電壓，單位（V）；vbc是B相和C相之間的電壓，單位（V）；Ls是定子繞組的電感，單位為（H）；Φa，Φb，Φc分別是A、B、C相的磁鏈函數，為無量綱的物理量；p是極對數。

式中：ia，ib，ic產生電磁轉矩，記Ta，Tb，Tc分別是A相、B相、C相繞組產生的電磁轉矩，Te是三相繞組產生的總的電磁轉矩，單位是（N·m），為正表示使轉子逆時針轉動。F是轉子和負載的總的阻尼（摩擦）系數，單位是（N·m/（rad·s-1））；Tm是負載加在轉動軸上的機械轉矩，單位是（N·m），其方向定義和Te一致；θe是電位置角，單位是（rad）；J是轉子及負載的轉動慣量，單位（kg·m2）；ea，eb，ec分別為各相繞組的反電動勢，以ea為例：

式中，λ=NBLr。注意在這里的N是一相繞組的邊數，一相繞組可能包括多個線圈，都要算上（比如在4對極的電機中一相繞組一般有4個線圈，每個線圈有20圈，那么N=4×2×20=160）；B是永磁體產生氣隙磁密，單位是特斯拉（T）；L是定子鐵心軸向有效長度；r是定子內徑；v是線速度（m/s）；λ是繞組每對極所產生的電動勢的最大值。

2 狀態空間方程的求解

考察狀態空間方程，B矩陣仿真過程中保持不變，而矩陣A中有些元素固定不變另外的元素是和磁鏈函數Φa，Φb，Φc有關的，而Φa，Φb，Φc隨著電位置角θe變化而變化，這就是說利用解狀態方程的方法來仿真無刷直流電動機，必須動態地更新矩陣A。這樣就牽涉到兩個問題：（1）改變矩陣A，這種仿真方法得到的結果是否能夠和數學模型相吻合；（2）如果能夠，如何改變矩陣A才能高效地求解動態狀態空間方程。下面就來解決這兩個問題。

2.1 C-MEX系統函數的編寫

首先簡單地介紹C-MEX系統函數的結構，以及與Matlab/Simulink引擎和解法器之間的關系。這里只談及本文涉及的部分，詳細的內容請參考Matlab/Simulink相關幫助文檔。

在C語言系統函數中主要有五個函數比較重要。第1，mdlInitializeSizes（SimStruct*S）函數完成系統函數的初始化工作，比如初始化結構體SimStruct，設置輸入輸出端口的寬度并檢查不同模塊間的連接是否合法、設置采樣時間等。第2，mdlOutputs（SimStruct*S）函數用于計算連續時間系統或者離散時間系統的輸出，對于連續時間系統的仿真輸出值是狀態x、輸入u和時間t的函數。第3，mdlDerivatives（SimStruct*S）函數用于連續狀態系統中動態方程的微分向量的計算，求解器利用此微分向量來進行實際的微分方程（組）的求解。微分向量是狀態向量x的一階導數，是狀態x、輸入u和時間t的函數。第4，mdlZeroCrossings （SimStruct*S）函數是C-MEX中特有的函數，用來幫助求解器確定一些關鍵的事件，比如某個狀態信號或者輸入信號是否過零。第5，mdlTerminate （SimStruct*S）函數在仿真結束時調用。

2.2 非線性系數矩陣的更新

矩陣A決定于轉子的電位置角，電位置角是狀態方程的一個狀態，需要更新，在mdlOutputs（）中只要更新A矩陣即可。實現動態改變矩陣A的基本思想是，首先把A矩陣存入DWORK內存區（相當于C語言中的靜態變量存儲區）中，每次Matlab/Simulink引擎調用mdlDerivatives（）時，從DWORK中讀入A矩陣和B矩陣。mdlOutputs（）在每一步運行都要更新A，即在Major和Minor中都要更新。隨著仿真過程的推進，矩陣A相應地隨著狀態相電流和轉子角度的變化而發生變化，這樣就實現了動態的仿真。

從狀態空間方程組來看，這樣更新矩陣A是和理論值有差別的，縮短仿真步長是否可以把此誤差減小，如果可以，仿真步長設定到多少才合適。對于梯形反電動勢的BLDCM來說，Φa，Φb，Φc是電位置角θe的函數（雖然不能夠表示為電位置角確定的簡單函數，卻是分段線性的，在仿真中比較容易生成）。在每一個換相狀態中，Φa，Φb，Φc中只有一個值隨著電位置角θe發生變化，而且和電位置角成線性關系。Φa，Φb和Φc在上升或下降變化期間（正好對應著一個換相狀態），其對時間的導數和電角度θe（以及轉子的位置角）也成線性關系，且轉子的位置角和轉子角速度wm都不可能突變。從這種線性關系可推斷誤差和仿真步長成反比，也就是說，減小仿真步長可有效減小誤差，進而總可以減小仿真步長來使誤差達到設定范圍。由于現實中無刷直流電動機的轉速最大數萬轉，換相狀態維持時間最小在1/（24×100000）=4.17× 10-7s（以最大每秒10萬轉，4對極電動機為例），仿真步長設定和這個時間成線性關系，為它的百分之一可以接受的。當然這里的分析是定性的，實際仿真結果也可接受（見本文仿真結果部分）。

既然改變矩陣A能夠和數學模型在任意小誤差范圍內相吻合，就剩下如何改變矩陣A的問題了。Matlab/Simulink設計環境中提供了用于求解狀態空間方程組的模塊，但其系數矩陣在仿真過程中不可改變，這對于仿真像BLDCM控制這樣動態的系統是不適合的。在Matlab/Simulink中提供了求解此類問題的模塊，但可惜的是，改變系數矩陣非常麻煩而且效率不高。有研究者提出了改變系數矩陣的辦法，但已有方法效率不高。采用C語言的系統函數方式，可提高運算效率縮短仿真所用的運行時間。更重要的是C語言的系統函數提供了巨大的靈活性，使得僅僅在一個模塊中動態改變系數矩陣成為可能。在C語言系統函數中，輸出功能和微分功能是在不同的函數中實現的，輸出時用到mdlOutputs（），微分時用mdlDerivatives（）。Matlab/Simulink引擎會在合適的時機調用這兩個函數。實現動態仿真的具體步驟是：仿真開始階段設定系數矩陣的初始值；在每一個仿真步長的微分階段從靜態變量存儲區取回將要用到的系數矩陣A，進行狀態更新；在每一個仿真步的輸出階段，改變矩陣A，并把它存入靜態變量區中；接下來的微分階段用到的正好是更新過的矩陣A；如此反復，就實現了動態更新系數矩陣。另外，矩陣A中實際需要改變的元素只有幾個，所以可以利用這一點，只更新需要更新的元素以達到進一步減小運算量的目的，從而提高了矩陣A系數更新部分代碼的執行效率。

3 仿真實現及結果分析

在Matlab/Simulink中搭建仿真系統時，需要Matlab/Simulink元件庫中的模塊來完成積分、微分、增益、加和、滯環控制、飽和限幅等功能。而利用C-MEX系統函數來實現仿真，只需四類基本模塊：系統函數模塊、Mux模塊、Demux模塊、用于給定參考信號的Step模塊。其中最重要的是系統函數模塊，Mux模塊和Demux模塊用于一個端口信號的復用和解復用，只是為了方便系統函數模塊之間的信號互連的目的，Step模塊用于給定負載參數等利于仿真的執行。圖1是實現系統仿真結構圖，分為控制器、驅動和電動機本體、輸出模塊。控制器用于控制電機的驅動電源，實現不同的控制算法和策略。輸出模塊中主要是用于信號波形的顯示。如圖2所示，驅動和電動機本體是密切聯系的，放在一個Matlab/Simulink子系統中。為了驗證相電壓的控制效果，控制器中使用了比例型PID算法，實現了一個簡單的速度控制環。

為驗證整個系統的性能，設計了一個簡單的比例型PID控制算法，對電機在動態改變負載轉矩的性能進行了仿真。如圖3所示，仿真中電機參數設定為：三相4對極，驅動電源Vdc=320 V，動慣量J=0.002kg·m2，Ls=2.72×10-3H，M=1.5×10-3H，N=50，定子內徑r=0.04 m，定子鐵心軸向有效長度L=0.2 m，永磁體產生氣隙磁密B=0.816 7 T，阻尼系數為F=0.000 2 N·m/（rad·s-1）；極對數為p=4。仿真參數的設定參考作者所在實驗室的一臺電機，此電機的額定功率為2 kW，額定電壓為500 V，額定轉速為3 000 r/min，額定電流為10 A，最大瞬時電流為15 A。仿真中使用的電感和互感參數參考了此電機。

圖1 電機控制系統仿真結構圖Fig.1Simulation structural diagram for control system of BLDCM

圖2 驅動電源和電機本體仿真結構圖Fig.2Simulation structural diagram for drive power source and body of BLDCM

圖3 速度環性能（使用簡單的PI控制算法，給定轉子轉速為1 000 r/min）Fig.3Speed loop performance（with a simple PI algorithm，rotor speed being 1 000 r/min）

如圖3所示，仿真開始負載轉矩為零，在0.04 s時，加入10 N·m的負載轉矩，速度環在0.06 s開始起作用，通過逐漸調整相電流，使轉速逐漸回到1 000 r/s的轉速，由于僅僅是采用簡單的比例控制算法，在給定速度處有小幅震蕩。

仿真結果表明，所提方法可使仿真結果在很高的精度上符合理論模型。采用該仿真架構可靈活地驗證各種控制算法和控制策略，使用C語言的控制代碼實現后可以直接用于DSP等實時控制系統中，加快了系統設計和開發，為分析和設計無刷直流電機控制系統提供了一個比較理想的實驗和驗證平臺。

4 結語

在仿真部分，目前的仿真技術還不是很理想。主要表現在：①仿真型存在的計算效率低；②忽略換相點后電流動態變化及不夠準確等問題；③控制系統的加入比較困難，且不實用。本文針對如上3點，實現了具有高精確度的BLDCM仿真系統（不是建模）。針對問題①采用C-MEX系統函數來求解電機本體的狀態空間方程組，方程組的系數矩陣可以動態改變。針對問題②采用過零檢測方法，幫助求解器來確定相電流的過零點，加上合理設置仿真步長，使得二極管的續流截止點可以精確定位。針對問題③使用C語言的系統函數執行速度快，因為是用C語言寫成，可以很方便地移植到以數字信號處理器為核心所構成的控制平臺中，既能快速驗證電動機的控制算法，又能快速建立控制器原型。

在本文中換相方式是兩相通電模式，在三相全部不通電時電流的變化和控制策略密切相關，經過分析和設計，本文實現的仿真方法還允許控制策略和算法中采用電流滯環的方式。但是BLDCM的驅動電源有多種形式，本文中實現的仿真是針對電壓源型的，對電動機本體的模型也是非常理想的，這樣實現的仿真其適用范圍是受限制的。完全使用數值仿真的方法，必須要考慮到驅動電源的方式和BLDCM電機本體的建模方式，以及換相方式和控制策略的采用，進一步研究可以針對不同驅動電源形式、三相通電模式等。

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[2]Zabalawis A，Nasiri A.State space modeling and simulation of sensorless control of brushless DC motors using instantaneous rotor position tracking[C]//IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference，Arlington，USA：2007.

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[5]鐘君柳，姜孝華（Zhong Junliu，Jiang Xiaohua）.基于S-函數的無刷直流電機系統建模研究（Study on modeling of BLDCM control system based on S-function）[J]．微計算機信息（Microcomputer Information），2007，23（3-1）：273-275，263.

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[7]沈艷霞，薛花，紀志成（Shen Yanxia，Xue Hua，Ji Zhicheng）.基于CMEX S-函數直流無刷電機控制系統仿真建模研究（Study on modeling and simulation of brushless DC motor control system based on CMEX S-function）[J].中小型電機（S&M Electric Machines），2004，31（6）：10-14.

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Dynamic Update of State Space Equation Coefficient Matrix in Brushless Direct Current Motor Simulation

DU Peng，XIE Jun
（School of Automation，Nanjing University of Posts and Telecommunications，Nanjing 210046，China）

In control system simulation of brushless direct current motor，to solve state equations of the brushless direct current motor is a key issue.In Matlab/Simulink environment，using C language system functions to build simulation module can be flexible and can achieve fast simulation of complex system modeling.By putting the coefficient matrix in a static variable storage area，the coefficient matrix of the equation of state can be modified directly and quickly.Meanwhile，during the output stage in each simulation step，modification of coefficient matrix can achieve the purpose of dynamically updating the matrix.The simulation results show that the proposed method can achieve fast simulation of brushless direct current motor control system，and can be easily used to validate the control algorithms and strategies of brushless direct current motor.

state space equations；system function；brushless direct current motor（BLDCM）；simulation

TM341

A

1003-8930（2013）04-0068-05

杜鵬（1971—），男，博士，講師，研究方向為電機拖動和電力系統自動化。Email：dupeng@njupt.edu.cn

2012-12-20；

2013-03-18

南京郵電大學引進人才科研啟動資助項目（NY208049）

謝俊（1979—），男，博士，副教授，研究方向為電力系統優化調度與電力市場。Email：jxie@njupt.edu.cn