電價序列的高階矩波動特征

王瑞慶，王宏福

（安陽師范學院計算機與信息工程學院，安陽 455000）

電價序列的高階矩波動特征

王瑞慶，王宏福

（安陽師范學院計算機與信息工程學院，安陽 455000）

電價的分布特性是電力市場風險管理和電力金融產品定價的重要依據。在對電力市場現貨電價的變動規律綜合分析的基礎上，使用條件方差、條件偏度、條件峰度來刻畫電價序列的二階矩、三階矩、四階矩時變特征，使用正弦函數和負荷平方來刻畫電價序列的多重周期及其與負荷之間的相關性，建立了一個基于正態分布概率密度函數的Gram-Charlier展開的多周期GARCH-M模型。對PJM電力市場歷史數據的分析表明：系統負荷對電價均值具有顯著的影響，電價序列具有周、半月、月、雙月、季、半年等多重周期和二階矩波動集聚性，二階矩、三階矩和四階矩具有明顯的時變特征，三階矩和四階矩的尖峰跳躍具有同步性。

電力價格；電力負荷；高階矩；波動集聚；廣義條件異方差均值模型

電價是電力市場供求平衡時形成的出清價，不僅受氣候、系統負荷、發電成本、可用發電容量、輸電網絡阻塞等客觀因素的影響，還受到市場交易規則、參與者的競價策略及其對價格的心理反應等主觀因素的影響，這些因素使得準確的電價預測較為困難。當前預測方法主要包括通過模擬電力市場競爭規則來預測市場出清電價的長期預測方法和依據大量歷史數據建立反映電價變化規律數學模型的短期預測方法[1]。

神經網絡對非確定性、非精確性規律具有自適應能力，能有效處理多變量和非線性問題[2-10]。但由于神經網絡方法的參數調整不夠靈活，學習速度較慢，在實際應用中遇到了困難。

時間序列方法需要的歷史數據相對較少，能準確反映歷史電價變化的連續性，常用的有自回歸滑動平均（auto-regressive and moving average）和帶外生變量的ARMA（ARMA with exogenous variables，ARMAX）模型。文獻[11]建立了一個以負荷作為外生解釋變量的ARMAX模型；文獻[12]注意到大多數電價序列均是非平穩隨機過程的特點，提出一種基于自回歸積分滑動平均ARIMA（autoregressive integrated moving average）模型的電價預測方法；文獻[13]建立了一個基于ARMA模型的分時段電價預測模型，使得對價格飛升（price spikes）的預測準確度得到較大提高。文獻[14-15]分別建立了將誤差校正、小波變換與ARIMA相結合的電價預測模型。文獻[16]將電價分解成工作日和周末兩個時間序列，通過移動平均法和離散傅里葉變換將這兩個時間序列分成趨勢分量、周期分量和隨機分量三個組成部分，然后采用移動平均法、外推法和最小二乘支持向量機對這三個組成部分進行預測，進一步提高了電價預測的準確性。但這些模型均基于電價服從常方差正態分布的假設，不能有效處理電價序列的高階矩波動。

使用條件方差、條件偏度和條件峰度來刻畫電價序列的二階矩（方差）、三階矩（偏度）和四階矩（峰度）的時變特征，使用正弦函數和負荷平方來刻畫電價序列的多重周期性及其與負荷之間的相關性，建立一個基于正態分布概率密度函數的Gram-Charlier展開的多周期廣義自回歸條件異方差均值GARCH-M（general autoregressive conditional heteroskedasticity in mean）模型。該模型待估參數少、計算速度快，可同時處理電價序列的趨勢變化、高階矩波動、多重周期及其與負荷的相關性。對PJM電力市場歷史數據的分析表明：系統負荷對電價均值具有顯著影響，電價序列具有周、半月、月、雙月、季、半年等多重周期和二階矩波動集聚性，二階矩、三階矩和四階矩具有明顯時變特征，三階矩和四階矩的尖峰跳躍具有同步性。

1 模型及求解方法

1.1 多周期GARCH-M模型

電價預測模型可看作一個多輸入單輸出系統，輸出為當期電價，輸入為系統負荷、參與者的報價策略、燃料價格、季節、氣候等影響因素。考慮到系統負荷和電價在各個電力市場中均是公開信息，因此本文選擇當期負荷、歷史負荷與歷史電價作為輸入，并使用時間序列分析的GARCH-M模型對這一系統進行描述。設pt表示t期現貨電價，dt2表示t期系統負荷平方，εt表示t期殘差，則描述電價變化的多周期GARCH-M模型可表述為

式中：B表示滯后算子；It-1表示t-1期的可用信息集合；ht表示εt的條件二階矩（方差）；zt表示歸一化殘差；u、v、p、q分別為均值方程中、pt及εt的滯后階數；rh、sh分別為二階矩方程中ht和εt2的滯后階數；m為電價序列一年內的變化周期數；（ft）描述電價序列的趨勢和季節性變化；dwkd是一個描述工作日和休息日用電差異的虛擬變量（工作日取值為1、休息日取值為0）。α=（α0，α1，α2，α11，…，α1m，α21，…，α2m）、γ=（γ0，…，γu）、φ=（φ1，…，φp）、κ=（κ1，…，κq）、θ=（θ0，…，θ）v、β=（β0，β11，…，β1rh，β21，…，β2sh）為待估參數。使用多個正弦函數可允許電價序列存在多個周期，每個周期的幅度和峰值位置分別由α1i和α2i描述。為保證二階矩為正，要求β0〉0，β1i，β2j≥0，?i∈[1，rh]，j∈[1，sh]。

1.2 參數估計

在對模型進行參數估計時，需要對殘差的分布做出假定。設zt的條件概率密度函數符合正態分布密度函數的Gram-Charlier展開（在四階矩截斷），則εt的條件概率密度函數可表示為[17]2

式中：ηt和λt分別表示εt的條件三階矩和條件四階矩；δ=（δ0，δ11，…，δ1rη，δ21，…，δ2sη）表示三階矩方程的待估參數；τ=（τ0，τ11，…，τ1rλ，τ21，…，τ2sλ）表示四階矩方程的待估參數。為保證四階矩為正，要求τ0〉0，τ1i，τ2j≥0，?i∈[1，rλ]，j∈[1，sλ]。

若記ξ=（α，φ，θ，γ，κ，β，δ，τ），則條件對數似然函數可表示為

式中：lt（ξ）=ln g（εt|It-1）表示t期觀察值的條件對數似然函數。通過最大化L（ξ），可以獲得模型參數的估計值ξ^。由于L（ξ）是關于ξ的非線性函數，初始值的選取關系到L（ξ）能否收斂到全局最大值。為了增加估計結果的精度，本文采用逐次逼近的求解方法，即先求解簡化模型，然后以其結果作為求解復雜模型的初始值。

1.3 模型檢驗

Nyblom統計量可用于檢驗模型的穩定性[18]，其漸近分布只依賴于待估參數個數。Nyblom統計量WN可表示為

Nyblom統計量也可用于檢驗單個系數的穩定性，相應于第k個待估參數的Nyblom統計量WN，k為

Cramer-Von Mises統計量可用于檢驗殘差是否符合正態分布的Gram-Charlier展開。若記Gram-Charlier展開的累積分布函數為FN（z），殘差的累積分布函數為F（z），則Cramer-Von Mises統計量WCVM為

2 PJM電力市場實證研究

本文的研究樣本來源于美國PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的日平均現貨電價和負荷[19]，樣本總數為1197。表1給出了日平均現貨電價和負荷序列的描述性統計結果。從表1可看出，兩個樣本的三階矩和四階矩都顯著異于正態，現貨電價和負荷序列均呈現明顯的右偏形態，同時具有較為明顯的尖峰胖尾特征。J-B統計量非常顯著，說明樣本期間內現貨電價和負荷的分布具有非正態性。

表1 樣本數據的描述性統計結果Tab.1Descriptive statistical results of the sample datas

對樣本數據的趨勢圖、相關系數及偏相關系數進行分析，可將多周期GARCH-M模型具體化為（m，p，q，u，v，rh，sh，rη，sη，rλ，sλ），取值分別為（52，1，3，1，0，1，1，1，1，1，1）。表2給出了該模型的極大似然估計結果。對表2的數據進行分析，可以得到如下結論。

（1）Cramer-Von Mises統計量和各參數的Nyblom統計量均小于99%置信限的臨界值，表明截止到四階矩的正態概率密度函數的Gram-Charlier展開能很好描述殘差的實際分布，各參數估計值穩定有效，可用該模型進行預測及分析。

（2）參數α1i，α2i，i∈（2，4，6，12，24，52）的t統計量均在95%置信水平上顯著，說明電價序列存在周、半月、月、雙月、季、半年等多周期效應，且周周期的峰值幅度較大。

（3）參數α2的t統計量在99%置信水平上顯著，表明工作日和休息日的系統負荷對電價均值的影響存在較大差異。

（4）參數γ0和γ1的t統計量均在99%置信水平上顯著，表明對電價均值具有顯著影響。但在均值方程中包含項后，dwkd的系數α2的符號由正變負，表明dwkd和間存在一定替代效應。

表2 GARCH-M模型的估計結果Tab.2Estimation results of GARCH-M model

（5）二階矩方程中的參數β11的t統計量在99%置信水平上顯著，表明二階矩波動具有較強的記憶性，前期波動對本期波動的影響呈衰減趨勢，電價序列存在明顯波動集聚現象。

（6）二階矩方程中的參數β21的t統計量在99%置信水平上顯著，表明外部沖擊對二階矩的波動具有加強作用。β11和β21之和接近于1，表明電價序列可能存在共積GARCH效應。

（7）三階矩方程中的參數δ21的t統計量在90%的置信水平上顯著，表明外部沖擊對三階矩的波動具有加強作用。δ11的t統計量在90%的置信水平上不顯著，說明電價序列的三階矩不存在明顯的波動持續性，這一現象不同于傳統金融市場的收益序列。圖1給出了電價序列的條件三階矩，從圖中可見，在樣本期間該序列表現出明顯的右偏特征（三階矩絕大部分集中在0.2左右），其波動不具有明顯的集聚現象。

圖1 電價序列的三階矩Fig.1Third moment of electricity price series

（8）四階矩方程中的參數τ21的t統計量在90%置信水平上顯著，表明外部沖擊對四階矩波動具有加強作用，但強度要弱于三階矩和二階矩（|τ21|〈|δ21|〈|β21|）。τ11的t統計量在90%置信水平上不顯著，說明電價序列的四階矩不存在明顯波動集聚現象，如圖2。觀察圖1與圖2可發現，三階矩和四階矩尖峰跳躍具有明顯的同步時變特征。

圖2 電價序列的四階矩Fig.2Fourth moment of electricity price series

3 結語

在對電力市場現貨電價的影響因素和變化規律分析的基礎上，使用條件方差、條件偏度和條件峰度來刻畫電價序列的二階矩、三階矩和四階矩的時變特征，使用正弦函數和負荷平方來刻畫電價序列的多重周期性及其與負荷之間的相關性，建立了一個基于正態分布密度函數的Gram-Charlier展開的多周期GARCH-M模型。該模型待估參數少、計算速度快，可同時處理電價序列的趨勢變化、多重周期、高階矩波動及其與負荷之間的相關性。對PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的歷史數據的分析表明：系統負荷對電價均值具有顯著影響，電價序列具有周、半月、月、雙月、季、半年等多重周期和二階矩波動集聚性，二階矩、三階矩和四階矩具有明顯的時變特征，三階矩和四階矩的尖峰跳躍具有同步性。但虛擬變量dwkd和負荷平方dt2之間的替代性導致dwkd系數為負，因此如何更好地處理兩者之間的關系是下一步要解決的主要問題。

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Higher Moments Volatility Characteristics of Electricity Price Series

WANG Rui-qing，WANG Hong-fu
（School of Computer&Information Engineering，Anyang Normal University，Anyang 455000，China）

The distribution properties of electricity prices are the important information for the risk management of electricity markets and the pricing of electricity financial derivatives.With comprehensive consideration of the changing rules of the electricity spot price，a multiple periodic GARCH-M model based on Gram-Charlier series expansion of the normal probability density function is proposed，in which the second，third and fourth moments of electricity price series are described by conditional variance，skewness and kurtosis，and the multiple periods and the relationship among load and spot price are also taken into account by sine function and system load squares.The numerical example based on the historical data of the PJM market shows that the system loads have a significant effect on the mean electricity prices，there exists second moment volatility clustering and weekly，semi-monthly，monthly，bimonthly，quarterly and semi-annual periods，and the second，third and fourth moments manifest the clear time-varying characteristics and there also exists synchronization between the peak jumping of third and fourth moments.

electricity price；electric load；higher moments；volatility clustering；GARCH-M model

TM73

A

1003-8930（2013）04-0058-05

王瑞慶（1965—），男，博士，教授，研究方向為電力運籌與控制、電力市場風險管理、數據挖掘與智能計算。Email：ayrqwang@163.com

2012-01-16；

2012-04-02

河南省教育廳自然科學研究計劃項目（2010B120002）

王宏福（1979—），男，碩士，講師，研究方向為知識管理、數據挖掘與智能計算。Email：anytc123@163.com