利用分形研究頁巖孔隙結構特征

楊向東，李智鋒，孟 潔，趙 玲，李治平

（1.中國石油長慶油田蘇里格氣田研究中心，陜西西安 710018；2.低滲透油氣田勘探開發國家工程實驗室，陜西西安 710018；3.中國地質大學，北京 100089）

1 孔隙結構分形維數

儲層巖石不規則的孔隙結構運用常規幾何學難以描述，1980年代提出了分形幾何學來研究這一復雜現象。由分形幾何理論知道，孔隙分布處于三維空間之內，其計盒分維數一般小于3。而且，孔隙結構分布的分形維數與儲集層孔隙結構的復雜程度相關，通常孔隙結構分形維數在2～3，分形值越接近于3，表明儲集層孔隙結構愈復雜，非均質性越強，孔隙的滲透性愈差。

1986年P.wong 和J.Howard 用小角度中子散射技術研究沉積巖的微觀孔隙結構，認為在砂巖和頁巖中，由于粘土的存在，使孔隙表面呈分形性質，其分形維數是個非普適性常數。1988年C.E.Krohn 提出砂巖孔隙體積可以分成兩部分：小尺度范圍具有分形特征，而大尺度范圍不具有分形特征。分形部分孔隙分布可以用冪律法則來描述，其特征似乎受孔隙空間礦物和膠結物生長控制。非分形部分，即歐氏空間部分的孔隙分布受特征長度控制，這一部分主要影響原生孔隙度。這兩部分的相對孔隙度可以用來表征成巖過程中巖石表面蝕變、改性的程度。Krohn 用掃描電鏡觀察巖石斷面，發現各種砂巖、頁巖及碳酸鹽巖在一定的孔隙尺寸范圍內具有良好的分形性質，分維數在2.27～2.89 變動。

本文采用分形幾何研究孔隙微觀結構特征，基于毛管壓力資料，導出了儲層孔隙結構的分形維數計算關系。利用飽和度S與孔隙半徑r 擬合方法，計算美國不同頁巖氣田的孔隙結構分形維數。

2 分形維數與毛細管壓力模型

多孔介質是由許多的孔隙和巖石基質組成的，假設孔隙是由眾多的毛細管堆積而成，每一根毛細管由許多大小不一的球狀孔隙組成，其孔隙半徑隨機分布，形成一條曲折迂回的通道。

由于儲層巖石的孔隙結構具有分形特征，根據分形幾何原理，儲層中孔隙半徑大于r的孔隙數目Nr與半徑r 之間有如下關系：

式中：rmax為最大孔隙半徑，μm；f（）

r為孔徑分布密度函數；D為分形維數；a為系數，立方體時為1。

根據前面的假設，對于每根毛細管可以等效成由某一相同半徑的孔隙組成，這樣所有的毛細管可以等效成由不同孔隙半徑組成的不等徑毛細管束。

式中：pc為孔隙半徑r 所對應的毛管壓力，MPa；σ和θ 分別為液體的表面張力和潤濕接觸角；pmin為最大孔隙半徑rmax所對應的毛管壓力，即入口毛管壓力，MPa；S為毛管壓力Pc為時儲層巖石中潤濕相的飽和度。式（4）即為毛管壓力曲線的分形幾何公式。

將方程3 對兩邊求導得到：

3 頁巖孔隙結構特征與分形維數關系

對毛細管壓力數據進行回歸擬合時，通常是對所有數據不加處理直接進行整體回歸，或者只對其中一部分數據進行回歸，這樣得到的結果與實際結果有很大的差別，不能真實地反映巖石的孔隙結構的分布情況。所以在計算孔隙結構的分形維數時，應根據數據點的分布情況和孔隙大小范圍進行分段回歸，這樣既能保證數據的完整性，又能真實地反映孔隙分布情況。

圖1 Barnett頁巖3 條壓汞曲線

圖1 是這3口頁巖壓汞曲線擬合結果，根據擬合結果可以發現，頁巖壓汞壓力與飽和度雙對數曲線可以分兩段進行回歸。

圖2 Barnett頁巖壓汞曲線1#分形回歸結果

根據方程及曲線擬合結果得到第一段分形維數D=2.2898，相關系數為92.81%，第一段孔隙體積占總孔隙體積的80%。第二段的分形系數為D=0.8137，相關系數為89.13%（見圖2）。

圖3 Barnett頁巖壓汞曲線2#分形回歸結果

圖4 Barnett頁巖壓汞曲線3#分形回歸結果

根據方程及曲線擬合結果得到第一段分形維數D=2.1773，相關系數為98.99%，第一段孔隙體積占總孔隙體積的80%。第二段的分形系數為D=-1.2054，相關系數為86.86%（見圖3）。

根據方程及曲線擬合結果得到第一段分形維數D=2.1557，相關系數為95.88%，第一段孔隙體積占總孔隙體積的80%。第二段的分形系數為D=-0.3077，相關系數為89.97%（見圖4）。

根據頁巖壓汞曲線數據統計計算結果得到頁巖第一段與常規巖樣孔隙分形維數統計結果對比表。

表1 頁巖分形維數表

表2 砂巖分形維數表

通過對比發現，這3口頁巖樣品第一段分形維數與常規砂巖相比，明顯偏小，居于2與2.5 之間，相關系數基本上大于90%。根據分形幾何理論解釋分形維數一般處于2與3 之間，越接近于2 則說明孔隙非均質性越弱，根據這3口頁巖氣井測試結果分析認為這5口頁巖巖樣的孔隙非均質性比較弱，根據其壓汞曲線可知，這幾口頁巖巖樣的孔隙分布很集中，孔徑大小居于2 nm 到20 nm 之間，孔隙分選性很好，孔隙喉道比值比較小，而分形維數是一個將孔隙大小、分選性、孔喉比、配位數、迂曲度等一系列描述孔隙特征參數的綜合分析參數，所以得到這3口頁巖樣品分形維數小，說明其均質性好。

同時，根據曲線回歸結果可以發現，這3口頁巖樣品都明顯存在一部分曲線擬合結果得到分形維數值超過了2與3的范圍，而且這一部分孔隙所占比例在這3口頁巖樣品中均為20%，分析認為這20%超越頁巖維數范圍的孔隙體積其應該是頁巖中有機質所占體積，這一點與煤樣分析結果相似，煤樣分析結果中經常存在分形維數超越的現像。頁巖中有機質孔隙網絡結構很復雜與其所處的頁巖常規孔隙部分差別巨大，所以在分形維數擬合曲線上表現出明顯的兩段性特點。

從分形維數擬合曲線兩段拐點處可以反推到頁巖的壓汞曲線中對應的汞進入體積，可以發現這個拐點均處于總孔隙體積的80%這個點上，因此就該3口頁巖樣品資料分析認為頁巖中有機質部分所占的孔隙體積約為20%。

4 結論

（1）根據3口頁巖樣品數據分析結果表明，頁巖孔隙分形維數處于2 到2.5 之間，相對于常規砂巖來，其值偏小，說明頁巖非均質性比較弱。

（2）回歸結果中第二段擬合得到的分形值存在分形維數超越的現像，主要是由于頁巖中有機質孔隙網絡結構復雜且與其所處的頁巖常規孔隙部分差別巨大，所以在分形維數擬合曲線上表現出明顯的兩段性特點。

（3）這3口頁巖巖樣擬合結果表明有機質部分所占體積約為頁巖巖樣的20%。

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