基于MODWT在金融數據預測的應用

廖麗芳，蔡如華

（桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

0 引 言

股票市場的狀況通常是一個國家經濟繁榮與否的體現，它的繁榮和穩定是國民經濟運轉正常的重要標志。對股票價格的準確預測，可以提高投資者的市場回報，可以使國家政府職能部門對市場的監管更加有效。因此，股票市場自設立以來就一直受到政府管理者、企業投資人以及融資人的關注。利用統計方法研究并預測經濟時間序列，得到越來越廣泛的應用。

時間序列分析是數理統計的一個分支，是動態數據處理的統計方法，用于解決很多實際問題，例如在經濟中預測銷售量與在醫學中預測膽結石病發病率［10－11］。時間序列分析方法來預測并分析股價也得到廣泛的應用，但是股票價格的變動受到很多宏觀與微觀方面的影響，即受到很多噪聲的干擾，這就導致了在不同的，經濟序列就表現出不一樣的特性。如果直接對其預測發展趨勢，則精確度會有所下降。

小波分析具有良好的多分辨分析能力，能夠自適應地伸縮和平移時頻分析窗口的大小，實現對信號時域和頻域的聯合分析，被譽為“數學顯微鏡”，它被廣泛應用于信號分析、圖像處理、地震勘探等領域。隨著小波分析的不斷發展，它在數理統計以及金融領域也受到了廣泛的關注。如文獻［2］利用小波變換與時間序列分析對銷售額的預測，文獻［5］在混沌理論的基礎上把小波分析和最小二乘支持向量機結合起來對收益價格的預測，得到了很顯著效果。在文獻［4］中，運用小波分析與時間序列分析結合起來，對滬鋁期貨進行預測等等。在上述文獻的方法中，用到的小波基函數都是經典小波與時間序列的結合，而經典小波變換要求被分解信號的長度必需為2的整數次冪，如果信號的長度不是2的整數冪，則要通過延拓序列的長度或減少序列長度為2的整數冪倍，這樣就限制了應用的范圍。為了避免這一缺陷，本文利用極大重疊離散小波變換（MODWT）對時間序列進行分解與重構。MODWT 是在小波變換的基礎上改進得到的，它對信號分解與重構的時候對信號的長度沒有要求，適用性更廣。

本文主要是通過極大重疊離散小波變換，把股票數據進行分解與重構，然后得到不同層次的信號，再利用ARMA模型對序列進行擬合及預測。

1 極大重疊離散小波變換［6］

設一個長度為N＝2n，n∈Z＋的時間序列｛Xt：t＝0，…，N－1｝，設｛hl：l＝0，…，L－1｝是一個長度為L的小波濾波器，其滿足以下條件

即小波濾波器其元素和必須為零，必須有單位能量，同時也必須與身身的偶數平移正交。通過小波濾波器｛hl｝來定義尺度濾波器｛gl｝，它們兩個有如下關系

根據Mallat算法可以得到在尺度j下的小波系數（細節信號）與尺度系數（光滑信號）分別如下

利用Mallat算法可以得到

2 ARMA（p，q）模型［1］

ARMA（p，q）模型是時間序列分析的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR（p）模型）與滑動平均模型（簡稱MA（q）模型）為基礎“混合”構成。把具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記ARMA（p，q）

判斷一個時間序列是屬于AR（p）模型，MA（q）模型還是ARMA（p，q）模型，其基本原則是根據序列的自關系數和偏自相關系數的性質來選擇適當的階數。AR（p）模型，MA（q）模型和ARMA（p，q）自相關系數和偏自相關系數的的性質為表1所示。

表1 模型的自相關系數與偏自相關系數性質

ARMA（p，q）模型只適用于平穩序列進行擬合與預測，而當一個序列是非平穩的時候，只有通過把序列轉換成平穩序列才能用ARMA（p，q）模型進行擬合與預測。把一個非平穩序列轉換為平穩序列，通?？梢酝ㄟ^差分的形式實現。

3 M－ARMA時間序列分析方法

把極大重疊離散小波變換與時間序列分析結合在一起，對股票數據進行短期預測。用小波方法來對一個時間序列進行時間預測的時候，首先是對該序列時間進行MODWT變換及分解，然后再對分解后的每一層的序列用ARMA（p，q）模型進行擬合，最后利用每一層的擬合模型進行預測，則總的序列預測值為各層預測值的總和，即

利用基于MODWT 處理時間序列的優點：

（1）可以將含有綜合信息的一組序列分解成只含有單一特征的信號，分別用不同的模型來進行擬合及預測。

（2）利用MODWT 對時間序列進行分解的時候，不像DWT 一樣序列長度必須為2的整數冪，它對序列的長度沒有要求。

（3）MODWT分解出來的時間序列，每一層的系數都具有與原來時間序列有相同的長度，對信息的提取比DWT更完整。

為了證明本文的方法較傳統時間序列方法更有效，將在下一章節里分別運用傳統時間序列方法與M－AMA 時間序列方法來對股票的序列時間擬合及其預測。

4 實例論證

本例選取的是中小企業的華邦制藥從2010年1月4日至2012年3月8 日共515個交易日的收盤價作為研究數據，全部數據分為兩部分，其中2010年1月4日至2012年3月1日的數據用于建立模型，剩下的5個數據用于預測模型的檢驗，數據來源于大智慧軟件。采用長度為8的“最接近對稱”小波（LA8小波）濾波器進行極大重疊離散小波變換，將股票數據｛Xt｝進行3層分解。本文所有的運算軟件為matlab7.0和SAS9.2。圖1為原始數據的時序圖。

圖1 原始時間序列

從圖1我們可以看出，原股票數據收盤價的變動呈現明顯的非線性特征，不僅局部波動劇烈，而且在大尺度的時間范圍也是上下波動劇烈的，是一個非平穩時間序列。下圖是用最接近對稱小波LA8小波對原始序列進行極大重疊小波分解與重構后得到的光滑信號與細節信號。

圖2 小波分解后的序列

圖2中，圖2（a）表示時間序列經過小波分解后得到的光滑序列，圖2（b）－（d）分別是經過小波分解后得到的細節信號。從上面我們可以知道，經過小波分解后，光滑信號與原來時間序列的信號有相同的趨勢，但是卻比原來信號光滑與單一，表現出了低頻數據的性質，屬于非平穩序列。細節信號卻表現了高頻數據的波動性，但表現出平穩性。

首先我們對分解后的細節信號進行ARMA模型擬合。由于光滑部分是是帶有趨勢的非平穩序列，為了能夠用ARMA模型，現在對序列進行二階差分，二階差分后可以得到圖形。

圖3 二次差分后的圖像

從圖3我們可以看出，經過二次差分后已經消除趨勢的影響，序列基本平穩。為了進一步判斷平穩性，還要進一步看考察自相關與偏自相關圖，如圖4所示。

圖4 二次差分后的自相關與偏自相關圖

從自相關圖我們可以知道，序列經過二階差分后的自相關系數緩慢衰減，仍然有很強的自相關性，偏自相關系數表現出截尾的性質。結合圖形經過多次試驗與對比，除去不顯著變量，選擇最小的AIC 值，最后選取p＝4，q＝2，即建立ARMA（4，2，2）模型，通過SAS軟件建立華邦制藥股票收盤價的ARMA（4，2，2）模型，最后建立的模型如下

同理，分別對細節信號D1，D2，D3 建立模型，其模型分別為ARMA（4，（2，4））模型，ARMA（6，1）模型，ARMA（5，2）模型，其模型口徑分別為

用同樣的方法，對原來的股票序列進行了ARMA模型建模，得到的模型為ARMA（（5），1，（5））

為了進一步檢驗本文提出方法的有效性，將結果分別用M－ARMA模型和傳統的ARMA模型兩種方法進行時間序列預測模型進行了未來五天的股票收盤價預測，其中我們采用了相對誤差來評價，相對誤差越小，說明模型就越好。比較結果見表2。

表2 模型比較

將中小企業華邦制藥的510個股票數據進行3層分解，對不同的尺度上分解的信號，分別采用不同的ARMA模型擬合及預測，最后的預測值等于各尺度預測值之和。從表2的相對誤差可以知道，對于股票收盤價的預測，總體上來說基于MODWT的時間序列方法要好于傳統的ARMA 方法，預測結果從實證角度檢驗了M－ARMA的方法在股票收盤價短期預測上的優勢預測。

5 結束語

通過對股票收盤價序列進行尺度為3的MODWT分解，分解出來的序列的長度與原時間序列長度相同，發現在不同的尺度，時間序列表現出不同的性質特征，且分解后的序列結構比原序列相對比較單一。根據不同性質特征的序列，提出了M－ARMA 預測方法，即在不同的尺度采用不同的ARMA模型進行擬合及預測。實驗結果表明，MARMA模型方法比具有綜合信息的原時間序列只用一個模型來建模預測的效果更好，預測精度更高。圖5也同樣表明，用M－ARMA 方法擬合誤差更小，效果更好，該方法具有實際的應用價值。

圖5 小波ARMA 方法擬合效果

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