高墩橋梁的P-Δ效應(yīng)及簡化計算方法

崔 猛

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070）

0 引言

橋墩在水平地震力作用下產(chǎn)生水平變位，使作用在墩頂上的上部結(jié)構(gòu)的重力荷載以及墩身自身的重力荷載產(chǎn)生了偏心，在橋墩內(nèi)將引起二次內(nèi)力和變形（稱P-Δ效應(yīng)）。在線性體系中，P-Δ效應(yīng)也會產(chǎn)生非線性影響[1]。

P-Δ效應(yīng)是各種橋墩中存在的一般性力學(xué)現(xiàn)象，也是較精確地震反應(yīng)分析中必然要考慮的普遍性問題。我國現(xiàn)行鐵路工程抗震設(shè)計規(guī)范（2009）在此方面沒有規(guī)定。美國加州規(guī)范[2]規(guī)定：“設(shè)計中應(yīng)考慮重力荷載對水平位移的動力效應(yīng)，墩中產(chǎn)生塑性鉸后考慮P-Δ效應(yīng)的墩頂位移值只能通過非線性時程反應(yīng)分析精確計算。有些條件下P-Δ效應(yīng)可以忽略不計”。我國公路橋梁抗震設(shè)計細(xì)則[3]規(guī)定“墩柱的計算長度與矩形截面短邊尺寸之比大于8，或墩柱的計算長度與圓形截面直徑之比大于6時，應(yīng)考慮P-Δ效應(yīng)”。我國臺灣規(guī)范[4]規(guī)定“采用穩(wěn)定指數(shù)Qs來描述P-Δ效應(yīng)的影響，當(dāng)Qs＞0.05時，須考慮P-Δ效應(yīng)的影響。大震下墩柱的位移會很大，P-Δ效應(yīng)可能會造成動態(tài)不穩(wěn)定，當(dāng)Qs＞0.25時，宜進(jìn)行非線性時程反應(yīng)分析，計算結(jié)構(gòu)的抗震能力”。盡管目前許多橋梁抗震規(guī)范都要求地震反應(yīng)分析時應(yīng)考慮P-Δ效應(yīng)的影響[2-4]，但考慮方法不統(tǒng)一。不同學(xué)者的P-效應(yīng)研究結(jié)論也不盡相同[5-6]。目前，關(guān)于P-Δ效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)影響的主要觀點是，P-Δ效應(yīng)往往增大地震反應(yīng)，彈性小變形下影響較小。

本文定量研究P-Δ效應(yīng)對鐵路高墩橋梁地震反應(yīng)的影響及其簡化計算方法。

1 考慮P-Δ效應(yīng)的地震反應(yīng)分析方法

不考慮P-Δ效應(yīng)影響時，在水平地震作用下結(jié)構(gòu)體系的運動方程為：

當(dāng)考慮P-Δ效應(yīng)影響時，結(jié)構(gòu)體系的運動方程為:

本文采用直接形成等效側(cè)向力的方式建立橋墩的影響剛度矩陣[KP][7]，作用在各質(zhì)點上的等效側(cè)力自上而下逐個計算（各質(zhì)點編號也自下而上編排，見圖 1）。圖 1（c）中 Wi（i=1,2,3…，n）是第 i個質(zhì)點所受的重力荷載，為i單元以上的重力荷載之和。xi是第i個質(zhì)點相對于墩底的水平位移，Δi是相鄰質(zhì)點間的相對位移，且有以下關(guān)系Δi=xi-xi-1。第i個質(zhì)點處的受力和變形情況見圖1（d），圖中Qi是i質(zhì)點處的剪力。

圖1 影響剛度矩陣計算圖示

第i節(jié)點由重力效應(yīng)作用的等效附加剪力為：

橋墩的等效側(cè)向力向量{F}可以寫成:

式中，{F}為體系的等效側(cè)力向量;[KP]為體系的影響剛度矩陣。

2 計算實例

為了研究P-Δ效應(yīng)對高墩地震反應(yīng)的影響，選取某鐵路橋梁的4號高墩為研究對象（見圖2）。4號墩身高H=92 m，墩帽高3 m。橋墩為順、橫橋向及截面內(nèi)外均有放坡的空心矩陣截面。單跨簡支鋼桁梁重7 600 kN（含二期恒）。橋址的設(shè)計水平地震基本加速度A=0.2 g，II類場地，特征周期為0.55 s。

圖2 鐵路高墩橋梁立面圖（單位：cm）

順橋向輸入圖3所示的水平反應(yīng)譜曲線,考慮高階振型的影響進(jìn)行彈性地震反應(yīng)分析。保持輸入地震動不變，以墩頂水平位移與墩底彎矩為指標(biāo)，通過分別調(diào)整梁重與墩高H考查P-Δ效應(yīng)的變化規(guī)律。計算中按墩底與地面固定考慮，分析結(jié)果列于表1。

圖3 反應(yīng)譜曲線

表1 P-Δ效應(yīng)對高墩地震反應(yīng)的影響

由表1可以看出，對于各種墩高及梁重而P-Δ效應(yīng)都會放大地震作用下的墩頂位移與墩底彎矩，這一點與目前已有的研究結(jié)論一致。我國公路橋梁抗震設(shè)計細(xì)則規(guī)定“墩柱的計算長度與矩形截面短邊尺寸之比大于8，或墩柱的計算長度與圓形截面直徑之比大于6時，應(yīng)考慮P-Δ效應(yīng)”。表1中的各種工況下的橋墩均已滿足需要考慮P-Δ效應(yīng)的條件。但從表1來看，大多數(shù)工況下考慮P-Δ效應(yīng)對墩頂位移與墩底彎矩的影響較小，計算中可以忽略P-Δ效應(yīng)。

因此，考慮P-Δ效應(yīng)對鐵路高墩橋梁的影響判別條件尚須探討。

3 P-Δ效應(yīng)的判別條件與簡化計算方法

臺灣橋梁抗震規(guī)范[4]中的穩(wěn)定指數(shù)Qs的表達(dá)式，如下：

式（7）中，P 為墩底的軸力；Δ0為在荷載 Vu作用下墩頂?shù)膹椥晕灰疲籚u為墩底的剪力；lc為墩高。

引入式（7）對表1中的數(shù)值進(jìn)行分析，結(jié)果列于表2及圖4～圖8。表2中位移或彎矩的增大率定義為：

增大率=（考慮P-Δ效應(yīng)-不考慮P-Δ效應(yīng)）/不考慮P-Δ效應(yīng)×100。

圖4 92 m高墩的P-Δ效應(yīng)增大率

圖5 92 m高墩的梁重/自重關(guān)系圖

圖6 穩(wěn)定指數(shù)與墩底彎矩增大率

圖7 穩(wěn)定指數(shù)與墩頂位移增大率

圖8 穩(wěn)定指數(shù)與梁重及自重之比

從表2及圖4～圖8可以看出，墩高保持不變時，P-Δ效應(yīng)對墩頂水平位移和墩底彎矩的影響與梁重或墩梁重之比及穩(wěn)定指數(shù)有關(guān)，并且各墩高的條件下均有此規(guī)律。穩(wěn)定指數(shù)與墩梁重之比線性相關(guān)，在0～8%范圍內(nèi)，地震作用下墩頂位移及墩底彎矩的P-Δ效應(yīng)的增大率可以用穩(wěn)定指數(shù)近似表示。多遇地震下鐵路高墩橋梁抗震設(shè)計時，可以采用穩(wěn)定指數(shù)Qs來判定P-Δ效應(yīng)的影響。P-Δ效應(yīng)對墩頂位移與墩底彎矩的增大值可近似等于穩(wěn)定指數(shù)Qs。當(dāng)穩(wěn)定指數(shù)Qs＞5%時，P-Δ效應(yīng)對高墩地震反應(yīng)的影響也約為5%，因此須考慮P-Δ效應(yīng)的影響?；谝陨涎芯?，本文給出的P-Δ效應(yīng)簡化計算公式如下：

表2 穩(wěn)定指數(shù)的影響因素

式（8）、（9）中 Mdelta、Δdelta分別為考慮 P-Δ 效應(yīng)的墩底彎矩、墩頂位移；M、Δ分別為不考慮P-Δ效應(yīng)的墩底彎矩、墩頂位移；Qs為穩(wěn)定指數(shù)，按式（7）計算。

4 結(jié)論

（1）P-Δ效應(yīng)會增大高墩的墩頂水平位移與墩底彎矩，不考慮P-Δ效應(yīng)偏于不安全。

（2）墩高不變時，穩(wěn)定指數(shù)隨梁重與墩重之比增大而增大。

（3）梁重與墩重之比不變時，穩(wěn)定指數(shù)隨墩高增大而增大。

（4）P-Δ效應(yīng)對墩頂水平位移與墩底彎矩的增大率與穩(wěn)定指數(shù)有一定的相關(guān)性。

（5）P-Δ效應(yīng)對高墩墩頂水平位移與墩底彎矩的放大可近似用穩(wěn)定指數(shù)表示。

[1]胡聿賢.地震工程學(xué)[M].北京：地震出版社，2006.

[2]Caltrans seismic design criteria version 1.4[S],2006.

[3]中華人民共和國交通運輸部.公路橋梁抗震設(shè)計細(xì)則[S].北京：人民交通出版社，2008.

[4]臺灣交通部.鐵路橋梁耐震設(shè)計規(guī)范[S].臺北：金新印刷影印行，2006.

[5]李睿,董明.考慮P-Δ效應(yīng)的高墩抗震計算[J].云南工業(yè)大學(xué)學(xué)報,1999,15（1）:61-66.

[6]劉坤,陳興沖,夏修身.鐵路空心高墩的地震反應(yīng)分析[J].蘭州交通大學(xué)學(xué)報,2005,24(4):20-23.

[7]尹之潛,李樹楨,楊淑文.高層建筑的P-Δ效應(yīng)和變形計算方法[J].地震工程與工程振動,1992,12(3):71-76.