基于稀疏表示的紅外小目標跟蹤

李 志，鄭江濱

（西北工業大學 計算機學院，陜西 西安 710129）

現代高技術戰爭中，在目標距離成像系統盡可能遠的地方對目標進行捕獲跟蹤，是紅外精確制導系統中的重要部分。遠距離目標在視場中常以小目標的形態出現，由于能量衰減和傳感器噪聲的影響，小目標容易被背景雜波淹沒。因此，設計一種魯棒的紅外小目標跟蹤算法，是一項既有實際應用意義又有挑戰性的課題。

紅外目標跟蹤主要分為基于濾波理論的目標跟蹤方法和基于Mean Shift的目標跟蹤方法[1]。基于濾波理論的目標跟蹤方法將目標跟蹤問題轉化為狀態估計問題，使用卡爾曼濾波器或粒子濾波器及相關改進來跟蹤目標[2-3]。基于Mean Shift的目標跟蹤方法，使用概率密度函數對目標進行建模，往往使用巴氏距離衡量模型之間相似度，通過梯度下降法快速定位目標[4]。紅外小目標跟蹤方法中，由于形狀、紋理等信息不穩定，多使用灰度直方圖[2]，面積和灰度均值等統計特征[3]對小目標建模，然而這些傳統模型對噪聲敏感，在某些情況下導致跟蹤失敗。

針對上述情況，文中提出一種稀疏表示目標建模和貝葉斯推理相結合的紅外小目標跟蹤方法。該方法將表征目標的模板向量和表征遮擋及噪聲的正負瑣碎向量級聯起來，形成對噪聲不敏感的稀疏表示模型；在貝葉斯推理框架下使用圖像子塊系數向量的目標模板重構誤差作為觀測模型，選擇最小重構誤差處為小目標的最終位置，充分利用幀間相關性實現小目標的魯棒跟蹤。

1 算法主要流程

文中算法主要分為2部分：首先是稀疏表示目標建模初始化階段，在紅外圖像序列F1，F2，…，Fn的前幀中手動標識出目標模板向量，結合表示噪聲和遮擋的正負瑣碎向量構建目標的超完備字典，歸一化之后形成對噪聲和遮擋不敏感的小目標稀疏表示模型；二是跟蹤階段，在貝葉斯推理框架[5]下，使用二階自回歸模型描述小目標的運動，預測小目標下一時刻的位置，對于采樣得到的每一個圖像子塊，使用L1方法[6-9]計算其在初始化階段所得超完備字典下的系數向量，使用圖像子塊系數向量的目標模板重構誤差作為觀測模型，尋找最小重構誤差處為被跟蹤目標位置。

2 稀疏表示目標建模

魯棒的目標表示模型對于目標跟蹤非常重要。稀疏表示具有抵抗噪聲和干擾的能力。文獻[10]就利用稀疏表示的這些優點，構建人臉模板向量字典，實現了魯棒的人臉識別。文獻[11]使用高斯亮度模型構造的超完備字典表示小目標，實現單幀紅外小目標的檢測。稀疏表示用于目標跟蹤主要分為兩步：首先構建表征目標的超完備字典，然后通過計算目標模板重構誤差來衡量模型之間的相似程度。

2.1 目標超完備字典構建

圖像稀疏表示理論中一個重要問題就是稀疏字典的構建，稀疏字典的構建方法一般分為兩類，第一類就是將標準正交基級聯，常用的標準正交基包括傅里葉基、小波基和Gabor基等[12]；第二類是從訓練樣本中采用某種學習方法得到適用于特定任務的字典，文獻[13]利用K－SVD算法來生成具有通用性的字典，完成圖像去噪任務，文獻[14]直接利用整體目標模板向量級聯瑣碎向量構建字典，實現可見光下運動目標的魯棒跟蹤。文獻[5，6，15，16]利用局部稀疏表示模板構建字典，實現可見光下運動目標的魯棒跟蹤。文獻[12]的研究表明，使用學習方法構建的字典的性能優于傅里葉、小波等標準正交基級聯構造的字典。

本文將目標模板向量和表征噪聲及遮擋的正負瑣碎向量級聯形成表示小目標的超完備字典。主要過程如下：

給定包含個目標模板的集合T＝[t1，t2，…，tn]，其 中ti∈Rd（i＝1，2，…，n）由r行c列的目標模板圖像子塊Ii∈Rr×c按列拉直形成，則有d＝r×c。將目標圖像子塊按列拉直形成的列向量為y，則可以用目標模板集合T的線性展開近似表示，

其中a＝（a1，a2，…，an）T∈Rn為目標系數向量。

考慮到噪聲和干擾可能會出現的情況，目標線性表示式（1）可以寫為

其中ε∈Rn為誤差向量。ε中的非0元素表示相應位置出現噪聲或干擾。在目標模板集合T的基礎上級聯瑣碎向量集合V＝[v1，v2，…，vd]∈Rd×d，將目標和干擾統一到線性表示框架下[5]，

其中瑣碎向量vi∈Rd中除去第i個元素為1，其他元素均為0，V形成一個單位矩陣，e稱為誤差系數向量。

根據式（3），除去目標向量會在T和V級聯基下形成稀疏表示以外，與目標模式完全相反的向量也會形成稀疏表示，僅僅是系數變為相反數而已，為了去除目標相反模式的影響，限制系數向量全為正。式（3）可寫為，

其中e+，e-∈Rd為表征噪聲和遮擋的正負瑣碎向量，B＝[T，V，－V]∈Rd×（n+2d），矩陣B為目標模板向量和瑣碎向量組成的超完備字典，c為向量y在超完備字典B下的系數向量。

使用上述方法構造的超完備字典可以有效的表示小目標，目標和背景在所構建的超完備字典下的系數向量表現出完全不同的特性。目標在超完備字典下的系數向量具有稀疏性，即系數向量中大部分元素均有較小的值，只有少部分元素具有較大的值；背景系數向量則不具有稀疏性，即所有元素均具有較小的值。目標和背景稀疏表示示意圖如圖1所示，可以看出目標系數向量中大部分元素接近0，只有少數元素的值較大；而背景系數向量中的大部分元素具有非0的較小值。

圖1 目標和背景稀疏表示示意圖Fig.1 Diagram of target and background’s sparse representation

2.2 目標模板重構誤差

目標圖像子塊和背景圖像子塊在2.1節所構造超完備字典下的系數向量有很大不同，利用目標和背景圖像子塊系數向量的差異，可衡量衡量模型之間的相似程度。本文使用目標模板下的重構誤差作為與目標相似性的衡量手段，可去除瑣碎向量所對應噪聲的影響，目標模板下重構誤差定義為

其中y為圖像子塊向量，T為超完備字典B中的目標模板部分，a為系數向量c中與目標模板T對應的目標系數向量。

計算圖像子塊的目標模板重構誤差，首先需要求解方程（4）的稀疏表示如下：

其中‖c‖0為系數向量c的L－0范數，定義為c中非零元素的個數，這是一個NP難的問題，需要窮舉所有可能才能得到最優解，文獻[10]，[14]將式（5）轉化為L－1范數優化問題，同時考慮重構誤差

其中‖·‖1和‖·‖2分別為向量的L－1和L－2范數，‖y-Bc‖22表示重構誤差，λ是平衡稀疏度和重構誤差的稀疏因子。使用文獻[12－13]的工具包進行方程（7）的稀疏求解。得到系數向量之后，就可以根據公式（5）計算圖像子塊的目標模板重構誤差。

使用目標模板重構誤差能夠有效的衡量圖像子塊和目標之間的相似程度，重構誤差描述相似度示意圖如圖2所示，相似度與重構誤差成反比，放大示意圖為方便顯示，亮度越高表明當前位置圖像子塊為目標的可能性越大?？梢姡繕四０逯貥嬚`差是一種有效的相似度衡量手段。

圖2 重構誤差描述相似度示意圖Fig.2 Diagram of similarity based on reconstruction error

3 跟蹤方法

目標跟蹤問題在貝葉斯推理框架可轉化為狀態估計問題，估計目標在每一幀中的運動狀態。給定1到t時刻的觀測集合y1：t＝{y1，y2，…，yt}，目標狀 態可以通過最大后驗 概率計 算

得到

其中xit是t時刻第i個狀態采樣，后驗概率p（xt|y1：t）可以通過貝葉斯理論遞推得到

其中p（xt|xt－1）和p（yt|xt）分別描述運動模型和觀測模型。使用粒子濾波方法[17]可以有效計算概率分布。

使用二階自回歸模型描述目標的運動方式，則有

其中Pt＝（r，c）表示t時刻目標的中心坐標，U為零均值高斯隨機過程。

令xt＝（vr，vc）表示t時刻目標的中心運動速率即xt＝Pt－Pt－1，則有

其中∑為對角矩陣，對角元素為中每個元素的方差。

p（yt|xt）是觀測yt在狀態xt下的似然概率，使用式（5）中的目標模板重構誤差定義似然概率

其中TEt為t時刻yt目標模板下的重構誤差。

下面給出紅外圖像序列中跟蹤小目標的具體過程：

1）給定圖像序列F1，F2，…，Fn利用前幀中手動標識出的目標模板向量，構造目標模板集合，級聯正負瑣碎向量，形成可以表示小目標的超完備字典；

2）根據p（xt|xt－1）＝N（xt；xt－1，∑）描述的小目標運動模型，在第t幀進行采樣得到圖像子塊，并且計算每個采樣的先驗概率；

3）對于2）中每一個采樣形成相應的圖像子塊，采用公式（7）計算其在超完備字典下的系數向量，采用公式（12）計算似然概率，結合先驗概率計算出后驗概率，后驗概率最大處為被跟蹤目標位置，使用最小方框圖標識出目標；

4）對t+1幀進行2）和3）操作，直至處理完成最后一幀圖像。

4 實驗結果和分析

采用云天背景下連續采集的450幀紅外序列實驗，單幀圖像分辨率為320×240。實驗中選取初始化幀數為M＝10，圖像子塊大小為16×16，稀疏度平衡因子λ＝0.1，粒子數為N＝100。

文中方法和傳統的以直方圖表示目標的粒子濾波跟蹤[18]方法進行對比。傳統方法采用灰度直方圖描述目標，從260幀左右開始丟失目標，跟蹤結果一直在（185，102）周圍小幅擺動，這是因為目標被噪聲部分遮擋，直方圖模型無法對遮擋和噪聲建模，從而導致跟蹤失??；本文方法采用稀疏表示對目標建模，具有對噪聲和遮擋建模的能力，出現噪聲和遮擋之后，仍能夠正確跟蹤目標。跟蹤結果示意圖如圖3所示，傳統方法跟蹤結果使用方框1框出目標，文中方法使用方框2框出目標。跟蹤至260幀時，傳統方法和文中方法均能框出目標；300幀時，傳統方法跟蹤結果仍為260幀跟蹤結果，已丟失目標，本文方法可以正確框出目標。

圖3 跟蹤結果示意圖：方框1為經典粒子濾波跟蹤結果，方框2為本文方法的跟蹤結果Fig.3 Diagram of tracking results：rectangle 1 for traditional result，rectangle 2 for this paper’s result

比較跟蹤方法的精度，以手動標識目標為標準結果，定義第跟蹤誤差為跟蹤結果和標準結果的歐氏距離，同時定義幀累積跟蹤誤差

其中（tix，tiy），（six，siy）2分別表示跟蹤結果和標準結果。

跟蹤軌跡誤差圖如圖4所示，可以看出，文中方法的跟蹤誤差始大部分幀中小于傳統方法誤差，累積跟蹤誤差曲線也說明本文方法跟蹤效果優于傳統方法。

圖4 跟蹤誤差曲線Fig.4 Tracking error curve

5 結束語

針對傳統模型對噪聲敏感而導致小目標跟蹤失敗的情況，本文提出一種稀疏表示目標建模和貝葉斯推理相結合的紅外小目標跟蹤方法。構建目標的稀疏表示模型，對目標亮度變化和噪聲出現具有良好的適應能力，在貝葉斯推理框架下使用目標模板重構誤差作為觀測模型，充分利用幀間相關性。實驗證明算法能夠實現小目標的魯棒跟蹤。由于稀疏表示計算量較大，如何提高算法效率是進一步的研究內容。

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