分堆的有序與無序

薛毓鈴

排列、組合中的分堆問題，思維抽象，是教學中的難點，本文對這個問題略作討論。

一、類型1：各堆內部不考慮順序，堆與堆間要考慮順序

例1：把6本書分給甲、乙、丙三個人，每人2本，有幾種不同的分法？

解：先把甲、乙、丙三人位置排定，即分成三堆。甲有C26種分法，乙有C24種分法，丙有C22種分法。因此分法總數是C26·C24·C22=90（種）。

例2：把6本書分給甲、乙、丙三人，甲分1本，乙分2本，丙分3本，有幾種不同的分法？

解法同上。分法總數是C16·C25·C33=60（種）。

例3：把6本書分給甲、乙、丙三人，若一人分1本，一人分2本，一人分3本，不同的分法有幾種？

這一題與例2不同。例2中是甲分1本，而例3中，可以是甲分1本，也可以是乙或丙分1本，所以，要考慮甲、乙、丙的順序。

因此分法總數是（C16·C25·C33）·A33=360（種）。

一般的，將n個不同元素分成m堆，要求第1堆分n1個元素，第2堆分n2個元素，…第m堆分nm個元素（n1，n2，…，nm互不相等，且n1+n2+…+nm=n）。則分法總數是：

（Cn1n ·Cn2 n-n1·Cn3 n-n1-n2…Cnm n-n1-n2-…-nm-1）

若將n個不同元素分成m堆，各堆的元素個數分別是n1，

n2，…，nm個（n1，n2，…，nm互不相等，且n1+n2+…+nm=n）。則分法總數是：

（Cn1n ·Cn2 n-n1·Cn3 n-n1-n2…Cnm n-n1-n2-…-nm-1）·Amm

二、類型2：各堆內部不考慮順序，堆與堆間也不考慮順序

例4：把12本不同的書分成三堆，每堆4本，有幾種不同的分法？

這是平均分堆問題，很多學生誤解為C412·C48·C44，與例1混淆。因為各堆間不考慮順序，如分法（a，b，c，d），（e，f，g，h），（i，j，k，l）與分法（e，f，g，h），（i，j，k，l），（a，b，c，d）是一樣的。應除以重復數，即三堆的全排列數A33。

因此分法總數是（C412·C48·C44）÷A33=5775（種）。

一般的，將n個不同元素平均分成m堆，每堆r個元素（這里n=m×r），則分法總數是（Crn·Cr n-r·Cr n-2r…Crr）÷Amm種。

例5：把6本書分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本。有幾種不同的分法？

本題與例3對比，本題屬于堆與堆間不考慮順序，不能乘A33。本題是不平均分堆問題，不會重復。因此分法總數是（C16·C25·C33）=60（種）。

三、類型3：各堆內部要考慮順序，堆與堆間也要考慮順序

例6：9個人排隊，站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，有幾種不同的排法？

解：先取后排。第一排有C29·A22種排法，第二排有C37·A33種排法，第三排有C44·A44種排法。因此排法總數是C29·A22·C37·A33·C44·A44=362880（種），即A99=362880（種）。

四、應用舉例

例7：有紅、黃、綠三種顏色的卡片，每種顏色各有分別標有A，B，C，D，E字母的卡片一張。現每次取出五張，要求字母不相同，且三種顏色齊備。問有幾種不同的取法？

解：五張卡片要求顏色齊備，必須將五張卡片分成三堆。則只能是某種顏色一張，其余兩種顏色各兩張，或某種顏色三張，其余兩種顏色各一張。因此取法總數是C13·C15·C24·C22+C13·C35·C12·C11=150（種）。

例8：將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配1名志愿者的方案有多少種？

解：將5名志愿者分成滿足題意的3份有1，1，3與2，2，1兩種情形，所以共有（■+■）A33=150（種）方案。

均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型，解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是均勻分組還是非均勻分組，無序分組要除以均勻組數的階乘數；還要考慮到是否與順序有關，有序分組要在無序分組的基礎上乘分組數的階乘數。

（作者單位 福建省福安市第二中學）