用小波矩陣形式改進Daubechieschies小波的正交性

張旭俊

（江西省電力科學研究院，江西南昌 330096）

0 引言

小波理論是20世紀的數學里程碑，Haar小波簡單對稱，但它不連續、不可微的缺點，數學家不能接受。尋找具有緊支撐、連續、可微的小波十分困難，法國著名數學家Meyer曾企圖證明小波正交基（Haar小波除外）并不存在，但最后他提出多分辨小波分析方法，并由數學家Daubechies提出一個正交的小波族，當N=1時它就是Haar小波，N≥2時，就是Daubechies小波族，但兩者關于小波正交的理念是完全不同的。經典小波理論是在傅里葉變換的廣義積分中表達小波基正交條件的，大篇理論敘述中，遲遲不見小波在時域中的形象，讀者理解較難，特別是對離散的等距采樣數據的小波分析而言，由于數據長度有限，會發生邊緣數據小波分析的失真。本文將用小波矩陣的方法銓明并改造Daubechies小波矩陣的正交性，用小波矩陣分析是從時域中來理解正交性的，不涉及傅里葉廣義積分的概念，讀者理解要容易得多，從小矩陣導入方法，讀者不難用舉一反三的推理，擴展到任意階的大矩陣。

1 用Haar小波矩陣作光滑分解

作者用Haar小波矩陣來分析等距采樣數據，為了分析結果的平滑，先依不同尺度進行平均值濾波、數據壓縮，再光滑插值重構主體成分的“恢復像”，將“原始信號”減去主體成分的“恢復像”，就得到按時域分布的細節：“總諧波像”，它也是光滑的曲線。這樣就基本上解決了對系列數據按“時-頻”分析的問題。

由原始采樣數據 求出小波系數C如下：

由小波系數C重構原始函數F如下：

以下只以實例說明Haar矩陣按雙尺度分解的過程和結果。

設采樣數據由式（4）得到f(i)，稱之為F列向量，采樣點數取N=2n=128點，相應的Haar矩陣B是128階方陣，

若尺度壓縮選擇取2m=8倍，即略去m=3層以上的高次小波，于是只需保留B矩陣的上面2n-m=16行的數據，稱作BU矩陣，它是16×128階矩陣，函數重構解出的f1(i)步驟很簡單，它無需寫出128階B矩陣作運算，其f1(i)的結果就是從開始，每連續8個點都用它們相應的平均值代替，由此所形成階梯波的“模糊像”如圖1。再將每連續8個相同的數據只保留一個（圖1下的小圓圈），得到壓縮數據s[k]，其中k=0、1、2、…….15，如式（5）

圖1 Haar小波矩陣分析的效果

再采用光滑插值的方法，在 和 中間求雙拋物線的平均值，從而將這16點壓縮數據擴展成128點，就得到主體成分的“恢復像”，再將“原始像”減去“恢復像”得到“總諧波像”，它也是光滑曲線，如圖1。這樣就得到的“時-頻”分解結果。

圖2 用雙拋物線法求平均插值

2 正交子波變換

多尺度表達的離散小波函數

經典小波重構的公式是：

引入雙尺度函數和小波函數，及其傅里葉變換函數，如公式（9）、（10），

尺度函數和另一平移后的尺度函數應當是正交的，用公式表示如下，

同理也可得到關于小波正交條件的公式（13）

由小波函數和尺度函數的正交關系可有：

3 Daubechies小波族

法國數學家Daubechies提出了一組正交小波的濾波函數 的公式(15)：

其中 是有關 的（N-1）次多項式。

顯然它滿足尺度函數的正交條件（12）式。

2）當N=2時Daubechies小波的尺度濾波函數直接寫出為：

展開后可得其中4個系數是：

相應的4個小波系數為：

一般也簡稱其為Db4小波，參考資料中對各種N下的Daubechies小波，都具有2N個尺度系數，簡稱Db(2N).為驗證其正交性，改寫（18）如下：

可得：

這種在頻域中驗證尺度函數的正交性，很難使讀者對小波分解有感性認識，而且也見不到小波的形狀。

4 Db4小波矩陣

特以N=2時的Daubechies小波為例，簡稱Db4小波。我們感興趣的依然是希望能像Haar小波矩陣那樣展開，一次性地把各個層次的小波都計算出來，但這是不可能做到的，這就是數學家Meyer曾企圖證明小波正交基（Haar小波除外）并不存在。但最后他提出多分辨小波分析方法，就是按尺度和小波系數，一層一層地剝開，逐次顯示該層次的小波和尺度的幅值，每剝一層信號點數就應當減半。為描述這個思路還是用8階矩陣來加以說明。前4行放置尺度波形，后4行放置小波波形，如第1行是4個尺度系數，右邊4個零，第5行是4個小波系數，右邊4個零。第2、6行是將第1、5行向右移位2列，第3、7行是將第2、6行向右移位2列，第4、8行是將第3、7行向右移位2列，這時出現了截斷的現象，有兩個列跑出了方矩陣的范圍。方矩陣的右邊是列向量F,它是原始信號的數據等號右邊的列向量X是待求的尺度幅值c和小波幅值d。從幾何意義看，尺度波形就是小波波形就是，解這個聯立方程就可將原始信號分解為尺度和小波的幅值，

把（24）式簡寫成（25）式，如果希望按原來尺度和小波的波形重構原函數，就應當如公式（26）那樣，但關鍵是H矩陣是否是正交矩陣，驗證如下：

如（27）式所示，H不是正交矩陣，需加以改造，

如果把第4、8行移位時截斷的兩個列，循環地移到相應行中的第1、2列上，可有（28）式，從物理意義上理解佗相當于原始數據是周期性循環的。

簡寫為B·F=X……（29），令人興奮的是B矩陣是正交矩陣，

從而可有波形重構公式（32）

下面以前例128點的采樣數據進行Db4矩陣的分解重構工作，先后進行3層剝離，如圖3所示。為了對比在圖的右邊畫出用Haar矩陣作光滑分解的對應結果，相當于壓縮2、4、8倍，由于Haar矩陣光滑分解采用插值處理，各層的“恢復像”都有128點數據畫線，比較光滑,可見用Haar矩陣作光滑分解依然具有使用方便的優勢，且它能直接進入某個尺度進行分解。

圖3 兩種小波矩陣分析法結果的對比

5 結論

必須注意Haar矩陣的正交性可以一次性將原始采樣點數據分解為：直流、2次、4次、8次……到2n-1次小波，而DB4矩陣的正交性卻只能將N=2n點數據分解為：尺度和2n-1次小波，其中尺度就是所有2n-m次小波的總和，(m=2、3、……n)，DB4分解雖然不能一次到位，卻能接連進行分解。法國著名數學家Meyer曾企圖證明小波正交基（Haar小波除外）并不存在，然后他又提出雙尺度多分辨小波的分析方法，創造出多層剝離的另一種的正交概念，這也是卓越的創舉，本文用小波矩陣的方法把這兩者之間的差異明白地表達出來。令人興奮的是，在離散函數的分析時，Daubechies小波DB4、DB6、…….DB20等都可以按本文的方法構成正交的B矩陣，從而使小波分析的概念完全轉到時域中來理解。

如第一節所述，Harr小波矩陣的基小波支撐區是[1,2]，沒有前后的拖尾，像切香腸一樣清晰，它的正交性明確。至于其不連續、不可微的缺點，可通過平均值濾波，數據壓縮，光滑插值膨脹，完全得到解決。所以作者特推薦用Harr小波矩陣作光滑分解的方法。

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