大地直角坐標(biāo)系到GPS坐標(biāo)系的直接轉(zhuǎn)換法研究

周 凱 段芳芳 任 強(qiáng)

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

在雷達(dá)的研制和軍事應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)結(jié)合GPS全球定位系統(tǒng)對(duì)雷達(dá)的測(cè)量精度進(jìn)行評(píng)估或者對(duì)目標(biāo)進(jìn)行精準(zhǔn)的定位。通過(guò)雷達(dá)獲取目標(biāo)的GPS位置(如:無(wú)人機(jī)雷達(dá))，然后通知作戰(zhàn)系統(tǒng)中的其它戰(zhàn)機(jī)或指揮中心對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊是當(dāng)今戰(zhàn)場(chǎng)上經(jīng)常采用的作戰(zhàn)方式。

這樣就要在雷達(dá)站心坐標(biāo)系和GPS坐標(biāo)系(WGS84)之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。在整個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程中涉及到多個(gè)坐標(biāo)系，但關(guān)鍵的一步可以簡(jiǎn)化為大地直角坐標(biāo)系和GPS坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。目前，由GPS坐標(biāo)系到大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化比較簡(jiǎn)單，有嚴(yán)格的公式[1]:

其中，B、L、H分別為GPS坐標(biāo)系的緯度、經(jīng)度和高。x，y，z為大地直角坐標(biāo)系下的笛卡爾坐標(biāo)。它們的物理含義如圖1所示。

O為地球參考橢球的球心，也是大地直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);X，Y，Z為大地直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸，X軸指向參考橢球的本初(起始)子午線，Z軸與地球自轉(zhuǎn)軸平行并指向參考橢球的北極，Y軸與X軸和Z軸相互垂直并構(gòu)成一個(gè)右手系[1]。而在GPS坐標(biāo)系下，點(diǎn)的位置由緯度B、經(jīng)度L和高度H表征。某點(diǎn)的大地緯度B是在該點(diǎn)所處子午面上所量測(cè)的赤道面與過(guò)該點(diǎn)的參考橢球面法線所夾的銳角，在赤道以北為正，在赤道以南為負(fù)。某點(diǎn)的大地經(jīng)度是在赤道面上所量測(cè)的從本初子午面到該點(diǎn)所處子午面間的夾角。而某點(diǎn)的大地高度是從參考橢球面沿過(guò)該點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)量測(cè)至該點(diǎn)的距離。參考橢球面在該點(diǎn)上方，則大地高為正，在該點(diǎn)下方，大地高為負(fù)[1]。

圖1 大地直角坐標(biāo)系及GPS坐標(biāo)系示意圖

由這兩類坐標(biāo)系的定義再結(jié)合圖1，不難看出，經(jīng)度L即目標(biāo)點(diǎn)P在XY平面(赤道面)上的投影同原點(diǎn)的連線跟X軸之間的夾角。緯度B是直線SP同赤道面的夾角。S即為經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的橢球面的法線在赤道面的交點(diǎn)。而M為該法線與橢球面的交點(diǎn)[8]。

從公式可以看出，經(jīng)度L可以直接求出，而B(niǎo)和H則相互嵌套，無(wú)法直接求出。這也就是從大地直角坐標(biāo)系向GPS坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的難點(diǎn)所在。由于沒(méi)有可以直接轉(zhuǎn)換的公式，目前較常采用的方法是迭代算法。由一個(gè)初始值不斷迭代，慢慢逼近真實(shí)值。而迭代算法也有其自身的問(wèn)題:如不同的初始值，迭代次數(shù)不確定，這樣計(jì)算時(shí)間就不確定;有時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)發(fā)散無(wú)法收斂的情況。

而直接算法在這兩方面就有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，本文正是從兩種坐標(biāo)系定義的本質(zhì)入手，通過(guò)幾何關(guān)系研究一種直接轉(zhuǎn)換算法，這樣可以避免迭代法的不確定性并能嚴(yán)格保證轉(zhuǎn)換時(shí)間，這在某些應(yīng)用場(chǎng)合是至關(guān)重要的。

2 直接轉(zhuǎn)化法的研究

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，把求解緯度B放到平面上來(lái)解決[2]，見(jiàn)圖 2。

圖2 平面內(nèi)緯度示意圖

P仍為空間中一點(diǎn)，B為緯度，那么由緯度的定義可知，SP為橢球面的一條法線，交赤道面與S點(diǎn)，M點(diǎn)為法線與橢球面的交點(diǎn)[4]。

橢球即為地球，其長(zhǎng)短半軸a、b已知，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)(xp，yp)也已知。M點(diǎn)既在橢圓上，也在直線SP上，這樣通過(guò)建立橢圓和法線方程，我們可以求出M點(diǎn)的坐標(biāo)(xm，ym)，進(jìn)而就可以求出緯度B。

2.1 建立方程組

其中(xm，ym)為法線上點(diǎn)坐標(biāo)，本問(wèn)題中可視為M點(diǎn)。這樣就可以建立方程組。首先，M點(diǎn)滿足橢圓方程，則有:

其次，P點(diǎn)在法線上，代入滿足法線方程，則有:

2.2 求解方程組

求解由(4)式和(6)式構(gòu)成的方程組，由(6)式可得

將(7)式代入(4)式的橢圓方程，得到一個(gè)關(guān)于ym的一元四次方程:

下面的問(wèn)題就是如何求解這個(gè)一元四次方程。

2.3 求解一元四次方程

假設(shè)要求解的一元四次方程形如

采用費(fèi)拉里算法，消去x3項(xiàng)，配方后為:

要令上式右邊構(gòu)成完全平方，則兩邊開(kāi)方后可以形成兩個(gè)一元二次方程，就可以求出一元四次方程的四個(gè)根。

要使右邊構(gòu)成完全平方式，令判別式Δ=0，即

化簡(jiǎn)后為:

上式中除了y以外，其他都是已知數(shù)，求出y就可以求出一元四次方程的根。現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求解上述一元三次方程。

利用著名的卡爾丹公式求解形如下式的一元三次方程:

首先，做橫坐標(biāo)平移y=x+s/3，平移后消去x2項(xiàng)，得到x3=px+q的形式，再令

x=a－b，代入上式得:

這時(shí)在x=a－b的同時(shí)，令p+3ab=0，則使上式變?yōu)閍3－b3=q，兩邊同時(shí)乘以27a2，則有

由于p=－3ab，可得:上式是一個(gè)關(guān)于a3的一元二次方程，求出a后可進(jìn)一步求得b，y和根x。

綜上所述，經(jīng)過(guò)求解一元三次方程最終可以求得標(biāo)準(zhǔn)形式一元四次方程的解，也就可以求出文章中關(guān)于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的一元四次方程。

3 仿真分析

地球橢球的長(zhǎng)短半軸分別為a=6378137.0m，b=6356752.31424m[2]。

利用MATLAB的符號(hào)函數(shù)庫(kù)對(duì)算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果如下表1所示。

表1

誤差分析:

仿真結(jié)果表明該算法可行，并具有較高的精度，可以滿足工程需求。并有效解決了迭代算法的不確定性和運(yùn)算量比較大的問(wèn)題。

4 結(jié)論

本文從兩種坐標(biāo)系的定義出發(fā)，通過(guò)幾何關(guān)系，推導(dǎo)出了從大地直角坐標(biāo)系到GPS坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的直接算法，使問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖粋€(gè)一元四次方程。接著，給出了求解一元四次方程的費(fèi)拉里算法，并通過(guò)MATLAB符號(hào)函數(shù)庫(kù)對(duì)算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明了該算法的可行性，并有效解決了迭代算法的不確定性和運(yùn)算量大的問(wèn)題。

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