一種DOA估計(jì)的實(shí)數(shù)特征值分解算法

高青松 周子超 王敏平

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

1986年Schmidt提出 MUSIC 算法[1]，實(shí)現(xiàn)了向現(xiàn)代超分辨測(cè)向技術(shù)的飛躍，也促進(jìn)了子空間類算法的興起和發(fā)展。MUSIC算法在特定情況下具有很高的分辨力、估計(jì)精度及穩(wěn)定性，因而得到了許多學(xué)者的關(guān)注和深入研究。ESPRIT算法由Roy等人[2]于1986年提出的，是一種估計(jì)信號(hào)空間參數(shù)的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)，利用子陣間的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)實(shí)現(xiàn)陣列的DOA估計(jì)。MUSIC算法和ESPRIT算法一樣都需要對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解，運(yùn)算量比較大，當(dāng)陣元數(shù)比較大時(shí)，很難滿足系統(tǒng)實(shí)時(shí)性的要求。本文提出一種改進(jìn)算法，利用Toeplitz矩陣和Hermitian矩陣的性質(zhì)將復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換成實(shí)矩陣，避免了復(fù)矩陣的特征值分解，減小了運(yùn)算量，仿真驗(yàn)證了本文提出算法的有效性。

2 算法模型

假定P個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到由M個(gè)陣元組成的均勻線陣，則陣元接收信號(hào)的表達(dá)式為:

X(k)= [x1(k)，x2(k)，…，xM(k)]T其中，xi(k)為第i個(gè)陣元在第k個(gè)采樣時(shí)刻的輸出，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θP)]為 M × P 維導(dǎo)向矢量陣，a(θi)=[1，e－jφi，e－j2φi，…e－j(M－1)φi]T為 M × 1 維陣列流型矢量，其中φi=(2πd/λ)sin(θi);d為陣元間距;λ為波長(zhǎng);θi為第i個(gè)信源的入射角。S(k)= [s1(k)，s2(k)，…，sP(k)]T為 P ×1維空間信號(hào)向量，n(k)=[n1(k)，n2(k)，…，nM(k)]T為M × 1維觀測(cè)噪聲向量，ni(k)為均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲。

3 改進(jìn)的MUSIC算法分析

由上面的模型我們可以的到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

由式(3)知數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R為Hermitian矩陣[2]，如果我們令 R=Rr+jRi，(Rr、Ri都是實(shí)數(shù)矩陣)，則

由式(2)、(3)、(4)有

令矩陣R的特征值λk對(duì)應(yīng)的特征向量Wk=

展開后有

寫成分塊矩陣的形式有

式(5)帶入式(9)有

[4]知任何一個(gè)2N×2N的實(shí)對(duì)稱Toeplitz矩陣R2N都可以矩陣分塊為:

至此，我們得出，將復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣R分為實(shí)部Rr和虛部Ri，合成新的實(shí)數(shù)矩陣T=Rr+JRi，在保持矩陣維數(shù)不增加的情況下，通過(guò)對(duì)矩陣T特征值分解可以精確得到矩陣R的特征值和特征向量，減小了計(jì)算量。

另外，由于噪聲的影響，使得采樣協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，如果直接將復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)矩陣，其特征值分解誤差比對(duì)復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解誤差大。為了進(jìn)一步減小估計(jì)誤差，我們可以在得到協(xié)方差矩陣后，先對(duì)其進(jìn)行Toeplitz化處理[5，6]，然后再轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)矩陣。

下面給出改進(jìn)MUSIC算法DOA估計(jì)的步驟:

給定M個(gè)陣元的觀測(cè)數(shù)據(jù)x1(t)…xm(t)，t=1，2，…，K。

步驟1 利用觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣X=[x(1)，…，x(K)]求自相關(guān)矩陣R，(對(duì)R進(jìn)行Toeplitz化處理)，由R=Rr+jRi得到的實(shí)部Rr和虛部Ri。

步驟2 構(gòu)造新的實(shí)合成矩陣T=Rr+JRi。

步驟3 對(duì)實(shí)合成矩陣進(jìn)行特征值分解T=UΣUH，并確定信源個(gè)數(shù)p，并存儲(chǔ)p個(gè)主特征向量u1，…，up或者 M － p個(gè)次特征向量 up+1，…，uM。

4 數(shù)值仿真及分析

仿真一:均勻線陣，陣元間距d=λ/2，陣元數(shù)M=12，入射信號(hào)為三個(gè)非相干信號(hào)，入射角度為[10°，30°，60°]，信噪比相等，都為 SNR=0，采樣快拍數(shù)為200。仿真比較了常規(guī)MUSIC算法和改進(jìn)MUSIC算法 DOA估計(jì)的性能，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 常規(guī)的MUSIC法和改進(jìn)MUSIC法DOA估計(jì)

從圖1中可以看出，雖然二者都能夠準(zhǔn)確估計(jì)波達(dá)方向，但本文提出的算法譜峰更加尖銳，非來(lái)波方向的功率更小，更有利于準(zhǔn)確估計(jì)譜峰的位置。

仿真二:均勻線陣，陣元間距d=λ/2，陣元數(shù)M=12，入射信號(hào)為三個(gè)非相干信號(hào)，入射角度分為[10°，30°，60°]，信噪比相等，SNR 從 － 10dB 到20dB，快拍數(shù)為300。進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，仿真了MUSIC算法和ESPRIT算法DOA估計(jì)的均方誤差，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2中，三條曲線分別為復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解常規(guī)MUSIC算法、實(shí)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法和Toeplitz化復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣，然后轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法的DOA估計(jì)均方誤差。從圖2中我們可以看出，本文提出的實(shí)數(shù)特征值分解算法的估計(jì)均方誤差常規(guī)MUSIC算法要大，但相差不大，而且隨著信噪比增加估計(jì)誤差趨近相同;此外，我們還可以看出，經(jīng)過(guò)Toeplitz處理的改進(jìn)MUSIC算法估計(jì)的均方誤差和MUSIC算法DOA估計(jì)的均方誤差基本相同，但Toeplitz處理的過(guò)程需要增加M×(M－1)次復(fù)數(shù)加法，在誤差要求不十分嚴(yán)格的情況下用改進(jìn)MUSIC算法即可。

圖3中，三條曲線分別為復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解常規(guī)ESPRIT算法、實(shí)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解ESPRIT算法和Toeplitz化復(fù)數(shù)協(xié)方差矩陣，然后轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法的DOA估計(jì)均方誤差。同MUSIC算法類似，實(shí)數(shù)特征值分解ESPRIT算法的估計(jì)均方誤差比復(fù)數(shù)ESPRIT算法的估計(jì)均方誤差稍大，但Toeplitz處理后估計(jì)誤差比常規(guī)ESPRIT算法小，估計(jì)更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

本文通過(guò)將協(xié)方差矩陣實(shí)部和虛部分離，并合成實(shí)數(shù)矩陣，對(duì)該矩陣進(jìn)行特征分解可以的到信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，避免了常規(guī)DOA估計(jì)算法直接進(jìn)行復(fù)數(shù)特征值分解，計(jì)算量大的缺點(diǎn)，通過(guò)對(duì)MUSIC算法和ESPRIT算法進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了本文提出的實(shí)數(shù)特征值分解算法的有效性。

參考文獻(xiàn):

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