動不平衡激勵下光滑非線性車輛擺振系統建模分析

胡 辰，盧劍偉，許 生

(合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009)

汽車前輪擺振可分為強迫振動和自激振動，前者由周期性干擾力引起，擺振頻率與作用在車輪上的干擾力頻率一致;后者不需要周期性干擾力，偶遇沖擊(如路面凸凹不平)發生偏轉之后，車輪的振動并沒有衰減，而是變成穩定持續的振動。

前輪擺振對汽車動力性、燃油經濟性、操縱穩定性、行駛平順性及行車安全都有極大的負面影響，國內外學者對擺振機理及控制進行了大量研究，取得了很多有價值的成果。Stépán 等［1］基于作用在輪胎上的外力矩所產生的機械功考察了自激擺振的條件;Demic［2］考慮轉向系與懸架耦合分析了轉向系參數對自己擺振的影響;Kimura［3］通過試驗和仿真分析了某輕卡自激擺振問題;Takács等［4］分析了輪胎遲滯效應對擺振的影響。宋健等［5］討論了前輪定位參數與輪胎特性對擺振的影響;林逸等［6］以常微分方程穩定性理論為基礎，闡明了自激型擺振是一種Holf分岔后出現的穩定極限環運動。

本文在前期自激振動研究的基礎上對車輪動不平衡激勵下的三自由度光滑非線性擺振系統動力學響應進行分析，并通過和前期自激振動研究的結果進行對比以明確動不平衡激勵對擺振系統動力學行為的影響，為轉向輪擺振控制提供支持。

1 考慮動不平衡的擺振動力學模型

設汽車在平坦路面上以速度v直線行駛，oxyz為模型坐標系，其中x軸指向汽車前進方向，z軸垂直向上，y軸指向汽車左側，前橋質心為坐標原點。

為簡化分析過程，僅考慮右前輪有偏心，并假定偏心力作用于車輪中性面上。忽略車輪彈性變形及其它參數的影響。對于前輪定位參數，只考慮對擺振影響較大的主銷后傾角，則該系統有3個自由度:右前輪轉角θ1、左前輪轉角θ2及前橋側擺角φ，模型示意圖見圖1。

圖1 三自由度擺振模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of3 DOF model of shimmy

基于以下假設建立系統動力學模型:

(1)不考慮運動副間隙、干摩擦等因素，只考慮輪胎側偏特性這一光滑非線性因素。

(2)忽略風阻、縱拉桿及轉向器質量對系統的影響，轉向縱拉桿到方向盤簡化為一彈簧阻尼器。

(3)不考慮輪胎滑移，前后輪側向力相等。

(4)汽車行駛方向及車速不變。

圖2 車輪動不平衡力示意圖Fig.2 Schematic diagram of dynamic unbalance on the wheel

由于滾動阻力力矩和翻轉力矩至多在轉向軸上產生正弦分量，是二階次要影響，在轉向系力矩分析中可以忽略，因此動不平衡對擺振的影響主要體現在回正力矩上［7］。主銷后傾角是形成轉向輪回正力矩的重要因素，如圖2所示，當存在偏心的車輪轉動時，將產生隨旋轉方向不斷改變的周期性的離心力，其大小為:

式中:m0為偏心質量;e為偏心距;ω為車輪轉動圓頻率。當旋轉的離心力和主銷不平行時，車輪上便產生了周期性的回正力矩Td:

式中:b為主銷到車輪中心面的距離;φ為偏心力的初始相位角;

結合上述分析，可得到右輪動不平衡激勵下擺振系統的運動微分方程為:

式中:參數含義及取值見表1，前輪側向力T1、T2由魔術公式給出:

式中:α2，α1為左、右車輪的側偏角，Sx，Sy，C，D，E 為常數。據文獻［6］，取 Sx=0，Sy=0，B=9.302 rad－1，C=1.29，D= －5.25 kN，E= －0.801，輪胎側偏角與車輪擺角之間約束為:

2 仿真分析及結果

假定動不平衡由車輪重心偏移引起，偏心質量m0即為車輪質量30kg，并設右輪上動不平衡力的初始相位角φ=0。應用四階龍格－庫塔法進行數值求解，考察右輪上不同偏心距的動不平衡激勵對擺振系統響應的影響。

圖3 右輪擺角隨車速的分岔特性Fig.3 Bifurcation characteristics of swing angle on right wheel

圖3(a)～3(c)分別為偏心距 e=0.4，4，40 mm 時右輪隨車速變化的分岔圖;圖3(d)為無動不平衡激勵，但右輪存在初始擾動擺角為0.01 rad時，右輪擺角隨車速的分岔圖。從圖中擺振車速區間(47－70 km/h)內的分岔特性可以看出，當偏心距為0.4 mm時，由于激勵強度較小，車輪擺角的分岔特性和無外激勵時的自激振動相似，但運動形態要復雜些;當偏心距為4 mm時，擺振形態更加復雜，但在車速約為52 km/h處出現了一個躍變的窗口，該窗口內的擺振形態比較簡單，而擺振幅值大幅高于其他車速下的幅值;偏心距達到40 mm時，擺振幅度雖大幅增加，但擺振形態反而變得簡單了。在此需要說明的是，雖然車輪實際偏心距通常不會達到40 mm，但是該分析結果無疑能夠說明對于給定車型參數，存在一個臨界偏心距，并伴隨著擺振車速內進入單周期運動且擺振幅度大幅增加，如果車型參數發生變化，這個臨界偏心距也數值會變化。

表1 某非獨立懸架汽車擺振模型參數Tab.1 Parameters of a dependent suspension vehicle

此外，偏心距為4 mm時，在原來并不擺振的高車速區間(70～110 km/h)也開始有了微小的擺振，對比低車速區間(10～47 km/h)的運動形態可以發現，高速時擺振現象要比低速時明顯;偏心距為40 mm時，車輪在整個車速區間內均發生不同程度的擺振，但高速區間擺振幅值比低速區間的大。

為進一步考察車輪擺角的運動特性，結合時間歷程、功率譜、相圖和龐加萊截面對車速為55 km/h時的右輪擺角進行分析。圖4～圖6分別為偏心距e=0.4，4，40 mm時右輪擺振運動特性;圖7為無動不平衡激勵，但右輪存在初始擾動擺角0.01 rad時右輪擺角。

圖4 右輪擺角響應(e=0.4 mm)Fig.4 Dynamic response of right front wheel(e=0.4 mm)

圖5 右輪擺角響應(e=4 mm)Fig.5 Dynamic response of right front wheel(e=4 mm)

從圖4～圖6可看出，由于輪胎的非線性特性，偏心距為0.4 mm和4 mm時，外激勵作用下擺振均呈現擬一周期狀態，比圖7自激振動時的單周期運動要復雜，從時域圖和頻譜圖看，由于運動中同時包含了自激頻率成分和強迫振動頻率成分，且兩個頻率相近，這兩個狀態下振幅隨時間作周期性緩慢變化，即發生了拍振現象。但當偏心距再增加為40 mm時擺振運動反而回到了類似自激振動的簡單的單周期運動。

圖6 右輪擺角響應(e=40 mm)Fig.6 Dynamic response of right front wheel(e=40 mm)

圖7 自激振動下的右輪運動特性Fig.7 Motion characteristics of right wheel under the self-excited vibration

強迫振動的擺振形態是由外激勵和系統自身結構特性共同決定的，而系統自身結構特性體現在響應的自激振動頻率成分中，擺振中是自激振動成分占主導，還是外激勵引起的強迫振動成分占主導，對擺振的形態有重要意義。圖8(a)～圖8(c)分別為動不平衡偏心距e=0.4，4，40 mm，外激勵頻率、最大功率譜對應的頻率和無外激勵時的振動頻率隨車速變化對比圖，通過對其頻率成分的分析以期解釋上面的擺振現象。

從圖8a可以看出，偏心距為0.4mm時，在擺振區間之外，有外激勵作用時的最大功率譜對應的頻率和系統自激頻率是一致的，這和自激振動下，擺振頻率和車速幾乎無關形成了對比。同時，擺振區間內的擺振最大功率譜對應的頻率和自激振動狀態時的擺振頻率一致，這說明在偏心距較小時，此區間內系統自身結構產生的自激振動是振動的主導因素，這解釋了為何圖3a中的擺振區間內的擺振形態和自激振動時的分岔圖3(d)的擺振形態極其相似;當車速約為52 km/h，強迫振動和自激振動頻率相同，根據拍振理論此時振幅達到最大值，這和圖3(a)中得到的結果一致。

從圖8(b)可以看出偏心距增加為4 mm時，擺振區間內大部分車速下擺振的最大功率譜所對應的頻率和自激頻率保持一致，但隨著外激勵的強度的加大，出現了和外激勵頻率一致的區間窗口，這解釋了為何分岔圖3(b)中車速為52 km/h處出現跳躍的窗口，幅值突然增大，運動形態變為單周期運動。

從圖8(c)可以看出偏心距再增加為40 mm時，整個車速區間內的最大功率譜所對應的頻率都和激勵頻率一致，這解釋了為何圖3c中整個車速區間內都呈現單周期運動。從這三個不斷加大偏心距的頻率對比圖可以看出擺振由系統自身結構起引起的自激振動成分占主導因素逐步到由外激勵占主導因素的變化過程。

圖8 不同偏心距下的頻率對比Fig.8 Comparison of frequencies under different eccentricity

3 結論

(1)考慮動不平衡激勵的車輛擺振系統，通常情況下其擺振響應中同時包含強迫擺振與自激擺振兩種成分。

(2)動不平衡激勵作用下的擺振系統響應分析結果顯示，強迫擺振與自激擺振兩種成分在擺振系統響應中所占比例主要取決于車速和動不平衡激勵大小。

(3)和自激振動相似，強迫振動下系統也有一定的擺振車速區間，高車速區間內的擺振比低車速區間內的擺振明顯，因此研究動不平衡對行駛車速較高的車輛有更重要的意義。

(4)當強迫振動的頻率和自激振動頻率相近時，會發生拍振現象，即車輪擺角的振幅會隨時間作周期性緩慢變化。

［1］Stépán G，Goodwine B.Chaotic motion of wheels［J］.Vehicle System Dynamics，1991，20(6):341 －351.

［2］DemiéM.Analysis of influence of design parameters on steered wheels shimmy of heavy vehicle［J］.Vehicle System Dynamic，1996，26(5):343－362.

［3］Kimura T， Hanamura Y. Analysis of steering shimmy accompanied by sprung mass vibration on light duty truckfundamental mechanism［J］.JSAE Review，1996，17(3):301－306.

［4］Takács D，Orosz G，Stépán G.Delay effects in shimmy dynamics of wheels with stretched string － like tyres［J］.European Journal of Mechanics A/Solids，2009，28:516–525.

［5］宋 健，管迪華.前輪定位參數與輪胎特性對前輪擺振影響的研究［J］.汽車工程，1995，17(3):13－25.SONG Jian，GUAN Di-hua.The study of the influence of front wheel alignment patameters and tire characteristics on shimmy［J］.Automotive Engineering，1995，17(3):13 －25.

［6］林 逸，李 勝.非獨立懸架汽車轉向輪自激型擺振的分岔特性分析［J］.機械工程學報，2004，40(12)，187 －191.LIN Yi，LI Sheng.Bifurcation character analysis of self excited shimmy on steering wheel of independent suspension vehicle［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2004，40(12)，187 －191.

［7］Gillespie T D.Fundamentals of vehicle dynamics［M］.New York:Society of Automotive Engineers，2000.