磁流變液矩形夾層板的動力特性分析

張 沖，魯劉磊

（1.廣州城建職業學院建筑工程技術系，廣東廣州 510925）；2.暨南大學重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣東廣州 510632）

0 引言

隨著工業材料的發展，出現了磁流變液、電流變液、壓電陶瓷等一批智能材料。其中磁流變液的特點更為突出，磁流變液在不加磁場時為可流動的牛頓液體，在磁場作用下，其特性發生急劇變化，由流體經粘彈性體、粘彈性-塑性體等變化為固體，其屈服強度隨外加磁場的增加而增加，移去磁場之后，又恢復其流動特性，整個過程是在毫秒量級的時間內完成[1-4]。基于這些特性，磁流變液被越來越多地用于結構的半主動振動控制。近年來，大多研究對象都只是針對夾層梁結構，而對于磁流變液應用于夾層板的研究很少[5]。

本文針對工程中常見的夾層結構，通過理論分析與實例計算研究了磁流變液四邊簡支矩形夾層板結構在不同磁場作用下的動力特性變化，分析了磁流變液對夾層板結構動力特性的控制效果及影響。

1 磁流變液矩形夾層板的運動微分方程

1.1 基本假設

磁流變液矩形夾層板示意圖如圖1 所示。夾層板的上下表面層為各向同性彈性材料，夾層為磁流變液。本文僅研究上層板與下層板等厚的夾層板結構。由于磁流變液具有一定的粘彈性特點，僅考慮其剪切作用，因此本文在經典夾層板理論的基礎上采用如下假設：

圖1 磁流變液夾層板坐標及幾何尺寸

（1）材料服從于Hooke定律；

（2）表板在發生彎曲變形時遵守直法線假設，且各層分界面間無相對滑移；

（3）夾心沿板面方向不承受荷載，夾心中面法線在變形后仍為直線；

（4）不考慮表板阻尼，只考慮芯層阻尼效應，并以復剛度形式表述芯層阻尼特性；

（5）不考慮面內轉動慣量的影響。

1.2 運動微分方程的建立及分析

基于上述假設，夾層板中任意一點的位移為：

上述各式中各符號意義：ui，vi，wi（i=1，2，3）分別表示上表層、夾心以及下表層的點沿x，y 和z 方向的位移；u，v，w 分別表示夾層矩形板中面上的點沿x，y 和z 方向的位移；h0表示上下表層中面間的距離；φx，φy分別表示夾心中面法線在xz 和yz 平面內的轉角。材料的幾何方程為：

上述式中：εxi，εyi，εzi，γxyi，γxzi，γyzi（i=1，2，3）分別表示上表層、夾心層、下表層的應變分量。將（1）-（3）式代入（4）和（5）得：

圖2 夾層板變形前后示意圖

將（6）-（8）式代入下述Hooke定律：

其中σx0，σy0，τxy0表示夾層矩形板中面內的應力分量；σxi，σyi，τxyi，τxz，（i=1，2，3）表示上表層、夾心層、下表層的應力分量；E、v為表層材料的彈性模量和泊松比；G2表示夾心層的剪切模量。根據彈性應變能公式：

本文僅考慮上下表層板均為薄板的情況，上層板和下層板的應變能可寫為：

本文基于能量法研究磁流變液夾層板運動微分方程，根據Hamilton原理可知：

其中U為結構總勢能，T為結構的總動能，W為外力所做的功。

將式（15）-（18）代入（19）可得：

可求得（20）式中分別對w、φx、φy的奧氏方程[6]：

（21）-（23）式便是夾層板結構的運動微分方程。由于本文僅討論夾層板的自由振動，則f（x，y，t）=0，式（21）可寫為：

[7]的解法，假設：

（25）式代入（22）、（23）式中，可得

將（25）、（26）式代入（24）式，有：

薄板自由振動時，設γ（x，y，t）：

將（28）式代入（27）式：

對于四邊簡支夾層板，邊界條件為：

因此根據（28）式可設：

將（30）代入（29）可得結構的固有頻率為：

由于所考慮的夾心層為磁流變液，代入的夾心層的剪切模量為磁流變液的復剪切模量，因此還可以得到結構的損耗因子為：

3 理論與有限元計算結果比較

本文對四邊簡支磁流變矩形夾層板模型進行了理論與有限元計算，本文研究對象尺寸：夾層板：200×200×3.53（mm3），其中上表層、磁流變夾層、下表層的厚度分別為0.765 mm，2 mm，0.765 mm。上下表層彈性模量為70 GPa，密度為2 800 kg/m3，泊松比為0.3；磁流變夾層密度為3 450 kg/m3，泊松比0.3，磁場分為5 種：0 Oe、500 Oe、1 000 Oe、1 500 Oe、2 000 Oe；磁流變層的復剪切模量可根據西安交通大學的Qing Sun等人[9]通過實驗測得并擬合出與磁場之間的一組非線性關系來進行計算。

表1 理論計算結果

表2 有限元計算結果

圖3 不同外加磁場作用下固有頻率變化曲線圖

采用上面計算模型尺寸在ANSYS 中利用Solid45 與Visco89 單元[10]分別模擬磁流變液夾層板的上下層板和夾心，并通過計算分析夾層板的振動特性。通過理論與有限元計算分別得到此處磁流變矩形夾層板的固有頻率與損耗因子見表1 和表2。

由圖3 與圖4 可知：理論計算與有限元分析所得計算結果吻合較好。同時也表明：當磁場強度增加，磁流變液矩形夾層板的各階固有頻率均逐漸增大，說明磁流變液的夾層板結構在磁場的作用下，整個結構的剛度和阻尼增大，使結構的共振頻率和損耗因子隨之增大。而在同一磁場作用下，隨著模態階數的增大，夾層板的固有頻率增大，結構的損耗因子減小。

4 結論

（1）通過本文推導的磁流變液夾層板的固有頻率與損耗因子計算式計算所得結果與有限元模擬計算結果吻合較好。

（2）在外加磁場的作用下，結構固有頻率隨著磁場強度的增加而增加，結構阻尼因子也隨之增大，這說明磁流變液夾層板振動在外加磁場的作用下得到有效抑制。在相同磁場的作用下，夾層板的低階模態損耗因子大于高階模態損耗因子，表明磁流變液夾層板在外加磁場的作用下，對低頻振動有較好的抑制效果。

圖4 結構阻尼損耗因子隨磁場強度變化曲線圖

參考文獻：

［1］Shulman Z P，Kordonsky W，Zaltsgendler E A.Structure，physical properties andynamics of magnetorheological suspensions ［J］.International journal of multiphase flow，1986，12（6）：935-955.

［2］Kordonsky W.Magnetorheological effect as a base of new devices and technologies［J］.Journal of magnetism and magnetic materials，1993（122）：395-398.

［3］Ginder，J M，Davis L C.Shear stress in magnetorheological fluids［J］.Applied physics letters，1994，65（1）：3410-3412.

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［5］J Snamina.Optimal location of an active segment of magnetorheological fluid layer in a sandwich plate ［A］.Carpathian Control Conference（ICCC），2011：362-365.

［6］老大中.變分法基礎［M］.北京：國防工業出版社，2007.

［7］劉人懷，吳建成.夾層矩形板的非線性振動［J］.中國科學：A輯，1991（10）：1075-1086.

［8］徐芝綸.彈性力學：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［9］Sun Q，Zhou J X，Zhang L.An adaptive beam model and dynamic characteristics of magnetorheological materials ［J］.Journal of sound and vibration，2003（261）：465-481.

［10］張掙鑫，劉黔會，黃方林.一種在ANSYS 中模擬磁流變液的方法［J］.貴州大學學報，2011（04）：109-113.