芻議平面解析幾何的產生及背后的思想

高崇智

一、數學史與高中數學教學

數學史是一門交叉學科，它研究的領域是數學與史學相重疊的那個部分。數學這一學科是如此的古老而富有活力，致使對其歷史的研究也成為了學者們努力探求的一個公認的學術領域，使學習數學的學生們去了解這一學科的歷史是很自然的事情，數學史可以看成數學的重要組成部分。學習數學史的目的，一是了解和熟悉數學發展的歷史事實；二是在數學歷史發展的過程中，探索前人的數學思想。探索前人的數學思想，可以對現在的數學教育工作起到指導性的作用。我國的教育行政管理部門對于數學史的教育是十分重視的，數學史已成為中學數學教材中的重要組成部分，以習題、注釋等多種形式出現在教材中。把數學史融入日常的教學中，不僅有助于學生加深對數學概念、方法、思想、作用的理解與掌握，是利教、利學的好方法，高中數學教師應善于運用。平面解析幾何是高中數學的重要模塊，在高中數學中的位置舉足輕重，是高考重點考查的內容之一，所以，了解解析幾何的創立過程，同時揭示平面解析幾何背后蘊含的思想，就顯得十分必要了。

二、解析幾何的創立

1.解析幾何創立的背景

幾何學的發展經歷了漫長的歷史，最早的開端可以追溯到古埃及、古印度及古巴比倫，時間大約在公元前3000年，直到公元前3世紀，希臘大數學家歐幾里得把古埃及和古希臘人的幾何學知識加以系統地整理和總結，用公理化的方法建立起了一個嚴密的邏輯體系，這標志著幾何學成為一個獨立的分支。在解析幾何建立之前，代數和幾何是兩個獨立的分支，代數學可以用來對抽象的未知量進行推測，幾何學可幫助人們認識真實世界的知識和真理。然而，歐式幾何過多地依賴于圖形，抽象程度高，代數又過多地受到法則和公式的約束，缺乏直觀。兩者的局限性限制了數學的發展，如何能夠取兩者的精華，把代數學和幾何學有機地進行結合，去認識真實世界的知識與真理？一門新的學科便呼之欲出了，這樣的背景之下，兩個法國人笛卡爾和費馬站在了時代的前列。

2.笛卡爾與費馬的解析幾何

笛卡爾有一個近乎瘋狂的想法——把一切問題變為數學問題，再把一切數學問題變為代數問題進行解決，這個想法促使笛卡爾最終建立了解析幾何。笛卡爾認為希臘人留給后人的幾何方法過于抽象和特殊，歐式幾何的每一個證明，都需要一個新的特殊方法才能夠解決，這是“笨拙和不必要的”，笛卡爾透徹地看到代數方法的力量，出于一種對方法論的強烈興趣，笛卡爾著手把代數應用于幾何中。他引入了“坐標”的概念，利用“坐標法”，提出方程表示曲線的思想，最終以“坐標”這一媒介，實現了幾何問題的代數化。通常把笛卡爾作為解析幾何的創立者，因為他不僅使用了使人容易理解的記憶方法，以及遠比他人優越的技巧，而且他還把不同次數的幾條曲線同時表示在了同一個坐標系內，使得解析幾何所研究的空間形式大大地擴展了，笛卡爾的工作證明了這樣一個事實：幾何問題不僅可以歸結為代數形式，而且還可以利用代數語言通過代數變換去發現幾何性質。而費馬也是解析幾何的創立者，那么費馬與笛卡爾兩者有什么不同呢？費馬與笛卡爾研究的角度和方法不同，各有側重。笛卡爾的研究角度是由軌跡出發去探究它的方程；而費馬則是由方程出發去探求它的軌

跡，前者由幾何到代數，后者由代數到幾何，一正一反，正好是解析幾何的兩個方面，所以，費馬與笛卡爾同享解析幾何創立者這一殊榮。但是從歷史的發展來看的話，笛卡爾的工作更加具有突破性。

三、平面解析幾何背后的思想

1.化歸思想

化歸思想是一種重要的數學思維模式，在數學中幾乎無處不在。化歸實際上是一種用來轉化問題的策略，將一個難度較大的問題，通過某種途徑，轉化為相對簡單的問題，并通過已有的經驗和知識進行解決，簡單化、直觀化和熟悉化是化歸的基本原則，其關鍵是要實現問題的模式化、規范化；將未知化為已知、化難為易、化抽象為具體、化一般為特殊等是化歸的方向。化歸思想是解析幾何的最基本思想，這點毋庸置疑，解析幾何的產生，實際上就來自于化歸思想，即把幾何問題化歸為代數問題進行解決。

2.方程思想

利用平面直角坐標系，可以建立起一系列的對應關系，比如平面的點與有序數對的對應。這樣一來，幾何圖形便能夠看成一些點的集合，于是，這些點的坐標便會滿足某些關系或者條件，這些關系或條件一般可以表示為等式，也就是方程；然后用代數的運算去求解所得到的方程，最后，再將所得到的代數結論“翻譯”為幾何結論，以上便是方程思想的基本體現。方程思想在平面解析幾何的應用，最明顯的例子，便是在求解曲線方程時常用的“待定系數法”了。而事實上，無論點、直線、曲線，都可以用方程的形式表示出來，也就是所謂的軌跡方程，而方程的表現形式也是多樣的，例如，直線方程就有參數方程、兩點式方程、一般方程等等。這樣當研究空間中點、直線或者曲線之間的關系時，便可根據具體情況而去選擇不同形式的直線方程，能夠幫助我們大大的簡化計算，而且有時對于不同形式的直線方程存在著不同的幾何意義。

3.向量思想

向量源出于物理當中的矢量，自從向量被引入到數學當中，

一些代數運算被向量運算極大地化簡。向量法的基本思想是根據問題的特征引進向量，利用向量的性質及其運算規律實現幾何的證明。我們都知道平面解析幾何的基本思想是用代數的方法去研究解決平面幾何問題，為了能夠把幾何問題從對于形的研究轉化為能夠定量去計算的層面，我們就需要把幾何結構代數化。正因為如此，我們引入了向量及向量的坐標運算，可以說它們是將幾何結構代數化的基礎。而且向量與坐標也貫穿了整個解析幾何的學習，同時也為后繼課程的學習奠定了重要的基礎。事實上，我們可以把各種角的計算看成是兩向量夾角的計算；而各種距離的計算也可以通過求解向量的模長而得以實現。用向量方法來求解一些較為復雜的平面幾何問題，可以避免一些繁雜的代數與三角運算，更加方便而快捷地得到答案。可以說向量法為平面幾何問題的研究提供了一種新的途徑，也是在高中平面解析幾何教學當中必須要掌握的思想方法之一。

4.數形結合思想

解析幾何的實質就是用代數的方法來研究并解決幾何問題，就是尋求方法去把空間或平面的幾何結構系統進行數量化和代數化，即建立坐標系，使得有序的實數組或實數對與空間或平面的點一一對應，這樣，幾何問題便可以轉化為代數形式。因此在研究解析幾何問題時，就可用我們所熟悉的代數方法來進行研究。既然是研究幾何問題，自然避免不了數與形的碰撞，所以數形結合也是極其重要的思想方法。數形結合思想是指：在研究問題時， 注意數與形的結合，即根據問題的具體情形，把問題的數量關系轉化為圖形性質，使復雜問題簡單化，從而使問題得到正確而有效的解決。在高中的平面解析幾何中，當題目中出現了“圓”或者“角平分線”時，幾乎無一例外的要用到數形結合。解析幾何堪稱是數形結合的典范。由向量及其運算所建立的坐標系是數形相互轉化的橋梁，實現了由數到形的轉化。

對于高中教師而言，不僅僅在平面解析幾何的教學過程中，

在高中的整個教學過程中，都應該盡可能地利用數學史激發學生的興趣，并在教學過程中挖掘隱含在其背后的深刻思想，這樣才會讓學生覺得，原來，“數學”并非是印刷著成串定理及公式的“冷冰冰”的一本教材。

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[5]朱成杰.關于數學思想方法教學的幾點思考.數學通訊，2004（9）.

（作者單位 黑龍江省拜泉縣第一中學）