解讀函數(shù)圖象——找到解題密鑰

劉莉莉

摘 要：近年來，函數(shù)圖象的表現(xiàn)形式的直觀效果以及內涵特征的豐富性使其在全國各地的中考中受到青睞。關于函數(shù)圖象的考查，一種是通過分析已知信息進行函數(shù)圖象的確定，另一種是通過對函數(shù)圖像的分析，對其隱含信息進行挖掘，即已知信息→確定圖象，已知圖象→挖掘信息。學生在函數(shù)圖象的實際操作處理過程中，常會在函數(shù)圖象和數(shù)學信息的互譯出現(xiàn)部分差錯，從而導致最終結果的不正確性。因此，通過對函圖象的解讀，促進學生解決函數(shù)問題的能力提高，進一步提高學生的數(shù)學思維水平。

關鍵詞：一次函數(shù)；圖象；解題思路

一次函數(shù)是一種承載數(shù)形結合的工具，是以圖形結合的方式實現(xiàn)數(shù)學問題的解決。在初中數(shù)學中，一次函數(shù)以一次不等式、二元一次方程、二元一次方程組之間的關系十分密切。在數(shù)學學習中，對于不等式、方程解的個數(shù)、函數(shù)圖象等問題，通常可以利用與之相對應的函數(shù)圖象作為該問題的突破口進行解決，從函數(shù)圖像的解讀過程中中獲取所需的關鍵信息，根據(jù)函數(shù)圖象快捷直觀地解決問題。

一、一次函數(shù)圖象與直線

眾說周知，一次函數(shù)的圖象是一條直線，方程式y(tǒng)=kx+b，（其中k、b是常數(shù)，k≠0）。我們一般會將一次函數(shù)說成直線y=kx+b，而不是直接說一次函數(shù)y=kx+b。在以前學過的數(shù)學知識中可以了解到，一條直線用兩個點就可以確定。所以，對于一次函數(shù)圖象的確定，可以尋找兩個點就可以了。通常關于這兩點的確定是采用二元一次方程y=kx+b的解實現(xiàn)的。因此，學生需要牢固的掌握

坐標軸和直線之間的交點，直線和坐標軸相交點的坐標分別是

那么，反過來講，一條直線可以不可以表示一個一次方程呢？答案當然是否定的，如方程x=2是一條過點（2，0）且和y軸平行的一條直線，但是x=2不是一次函數(shù)。由此我們可以看出，一次函數(shù)和直線之間的關系并不是可以相互轉換的，即：每個一次函數(shù)均可以用直線來表示，但并不是每條直線都是一次函數(shù)。

二、一次函數(shù)、一元一次不等式以及二元一次方程（組）

一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b是一個關于x、y的二元一次方程。在平面直角坐標系中，直線y=kx+b所有點的縱橫坐標則為此二元一次方程的解。

直線l1：y=k1x+b1和直線l2：y=k2x+b2的圖象在同一個平面直角坐標系內，兩條直線相交于坐標為（m，n）的P點，因此方程組y=k1x+b1

y=k2x+b2的解為x=m

y=n。關于x的不等式k1x+b1>k2x+b2，其實質是求當x取何值時，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象位于y=k2x+b2的圖象上方。經(jīng)過分析，我們可知：當x>m時，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象位于y=k2x+b2的圖象上方；以P點的坐標為分界點，當xk2x+b2的解集是x>m。

由此可以看出，一次函數(shù)、一元一次不等式以及二元一次方程（組）和函數(shù)圖象的結合，可以簡單容易的求出相關的解或者

解集。

三、正確認識函數(shù)圖象，尋找解題突破口

小方騎自行車從家出發(fā)，沿著一條直線形的道路到距離2400 m遠的銀行辦事。與小方從家出發(fā)的時間相同，小方的父親以96 m/min

的速度沿著同一條路從銀行步行回家。小方在銀行停留兩分鐘后直接沿原路原速度返回。設小方和父親出發(fā)后經(jīng)歷的時間為t min時，小方和家之間的距離是s1 m，小明父親和家之間的距離是s2米，下圖中的折線OABCD表示的是s1時間t之間的函數(shù)關系，線段EF表示的是s2和時間t的函數(shù)關系。

（1）寫出A、B兩點之間的坐標并解釋其實際意義；

（2）求出s2和時間t的函數(shù)關系式；

（3）小方從家出發(fā)后，需多長時間可以在返途中追上父親？此時他們和家之間的距離是多少？

分析：小方和父親和家之間的距離、時間關系圖是在同一個平面直角坐標系中的圖象，我們可以圖中獲得跟更多的相關信息，這些信息可以將上述問題順利的解決。

1.題中提到小方在銀行有兩分鐘的停留時間，因此，圖中OABCD折線表示的是小方和家的距離與出門時間t的函數(shù)關系，那么，線段EF則表示下方父親和家的距離與出門時間t的函數(shù)關系。

2.OA線段表示小方從家到銀行的過程，從圖中s1-t的函數(shù)關系可知，10 min后小方到達銀行。在這個過程中前行了2400 m，因此，小方到銀行的前行速度是每分鐘240 m，故OA段的表達式為s1=240 t，在銀行辦事的這兩分鐘的內小方和家之間的距離始終是

2400 m，因此，AB表示的是小方在銀行辦事時的s1-t函數(shù)關系。題中已經(jīng)明確的指出小方從家到銀行的往返速度是相同的，故小方從銀行回家用的時間也是10 min，由此可求出（22，0）是D點的坐標，從而得出小方在返回家時的函數(shù)解析式為s1=-2400t+5280。

綜上所述，可以得出：s1=240t（0≤t<10）

2400t（10≤t≤12）

-240t+5280（12

3.小方父親是以96 m/min的速度沿同一條路從銀行步行回家，全程為2400 m，故小方父親從銀行到家需要25 min，故F點坐標為（25，0），已知E點坐標為（0，2400），利用待定系數(shù)法出EF的函數(shù)表達式為s2=-96t+2400。

4.根據(jù)坐標點D（22，0）、F（25，0）可以看出，小方比父親到家的時間早3分鐘。

5.C點是BD和EF的交點，在此時小方和父親和家之間的距離是相同的，s1=s2=s，也就是說此時小方追上了父親，通過對方程組s=250t+5280

s=-96t+2400進行解析，可以得到t=20

s=480，因此C點的坐標為（20，480）。

通過上述分析可以輕松地將題中的三個問題予以解答。由此可見，在中學數(shù)學函數(shù)的學習過程中，了解并掌握函數(shù)表達式和圖像之間的關系，這兩者的融會貫通對學生函數(shù)的學習有很大的幫助，甚至是在整個數(shù)學學習過程中有很重要的作用和意義。

總之，在初中函數(shù)的學習過程中，通過對函數(shù)圖象的正確解讀，在正確解決函數(shù)問題的同時，也提高了學生對函數(shù)問題的解決能力，有利于培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學思維能力。

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（作者單位 江西贛州南康市第五中學）