基于小波分析的位移時(shí)效變形提取方法及其應(yīng)用

羅 刊 胡 榮

(1.中國(guó)中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031； 2.華中科技大學(xué)文華學(xué)院，湖北武漢 430074)

通常情況下，除了外荷載作用會(huì)引起建筑物(或構(gòu)筑物)位移的變化，建筑材料的變化(如混凝土的收縮、徐變等)以及基礎(chǔ)巖層在荷載作用下引起的變形等也會(huì)產(chǎn)生一定的影響。這些因素的影響通過(guò)位移隨時(shí)間發(fā)生的不可逆變形反映出來(lái)，即通常所說(shuō)的時(shí)效變形，其特點(diǎn)是隨著時(shí)間的推移而逐漸趨于穩(wěn)定[1]。為了判斷建筑物(或構(gòu)筑物)的運(yùn)營(yíng)是否正常，須通過(guò)對(duì)位移的時(shí)效變化進(jìn)行分析，從中進(jìn)一步地分析位移的演變規(guī)律。以大壩為例，如果是正常運(yùn)行的大壩，在蓄水初期時(shí)效變化急劇，運(yùn)行多年后就逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)大壩的時(shí)效變形突然增大或變化急劇時(shí)，表明大壩(或壩基)開(kāi)始出現(xiàn)病態(tài)，此時(shí)就需要采取一定的救助措施[2]。

傳統(tǒng)確定時(shí)效變形的方法主要是通過(guò)半理論、半經(jīng)驗(yàn)的方式定性判斷，一般情況下是首先選擇好與時(shí)間有關(guān)的因子形式對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，然后采用回歸分析方法求得系數(shù)進(jìn)而確定時(shí)效變形[3]。傳統(tǒng)的方法在事先擬定時(shí)效因子的構(gòu)造形式時(shí)，帶有一定的人為影響；另外，當(dāng)影響因子與時(shí)效因子密切相關(guān)時(shí)，這種相關(guān)性會(huì)對(duì)回歸效果產(chǎn)生影響。而且，當(dāng)位移變化的影響因子不確定時(shí)，該方法就有了一定的局限性。因此，需要研究時(shí)效變形提取的新方法。

本文以某大壩的裂縫觀測(cè)數(shù)據(jù)為例，提出利用小波分析的多分辨率分析的方法提取位移的時(shí)效變形[4]，分析位移的時(shí)變規(guī)律。

1 小波分析的基本理論

小波變換的基本思想[5]是用小波函數(shù)系去表示或逼近一個(gè)數(shù)字信號(hào)或函數(shù)，這個(gè)小波函數(shù)系是由一基本小波函數(shù)(或母小波)通過(guò)平移和伸縮來(lái)構(gòu)成。

(1)

將ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后,就可以得到一個(gè)小波序列。對(duì)于連續(xù)的情況,小波序列為

(a,b∈R,a≠0)

(2)

式中：a為伸縮因子；b為平移因子。

對(duì)于任意函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為

(3)

在小波分析中,低頻部分對(duì)應(yīng)著最大尺度小波變換的低頻系數(shù)；隨著尺度的增加,時(shí)間分辨率的降低,對(duì)信號(hào)的這種發(fā)展趨勢(shì)會(huì)表現(xiàn)得更明顯。而小波的多分辨率分析能將信號(hào)在不同尺度下進(jìn)行多分辨率的分解,并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻段的子信號(hào),對(duì)信號(hào)具有按頻帶處理的能力[6]。

2 多分辨率分析的基本思想

多分辨率分析的基本思想[5]是：當(dāng)一組{Vj,j∈Z}滿足…V2?V1?V0?V-1?V-2?…時(shí),存在一個(gè)L2(R)上的規(guī)范正交基{φj,k;j,k∈Z},其中φj,k(x)=2-j/2φ(2-j/2-k)。

對(duì)于?f∈L2(R),有Pj-1f=Pjf+∑〈f,φj,k〉φj,k(Pj為在Vj上的正交投影,k∈Z)。

對(duì)于Vj∈Z,定義Wj為Vj在Vj-1上的正交補(bǔ),于是有Vj-1=Vj⊕Wj及Wj⊥Wj′(j≠j′)。事實(shí)上,假定j>j′,則Wj?Vj′⊥Wj′。

(4)

這表明,任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2-N時(shí)f的低頻部分和分辨率2-j(j∈[1,N])下f的高頻部分(“細(xì)節(jié)”部分)完全重構(gòu)。對(duì)位移的信號(hào)序列進(jìn)行小波多層分解,濾除隨機(jī)成分以及隨著水位、溫度而變化的高頻部分,剩下的低頻部分就代表著位移隨觀測(cè)時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì),即為位移的時(shí)效變形[8]。

具體可通過(guò)Matlab算法實(shí)現(xiàn)：設(shè){Vj}(j∈Z)是L2(R)中的一個(gè)多尺度分析,φ為尺度函數(shù),{ψj,n}(n∈Z)為小波基,則有分解式

(5)

有重構(gòu)式

φj,k(x),φj+1,l(x)〉+

(6)

3 實(shí)例應(yīng)用

以某大壩裂縫觀測(cè)的位移數(shù)據(jù)為例,提取其時(shí)效變形,從而對(duì)其變形進(jìn)行分析。圖1中s為S100XH02測(cè)點(diǎn)從2000年10月13日至2009年8月20日的位移(或開(kāi)度)過(guò)程線,每10天觀測(cè)一次,即時(shí)間序列的間隔Δt=10。

圖1 dmey小波對(duì)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解

對(duì)該位移數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行小波分解,討論如下。

(1)選取適當(dāng)?shù)男〔ǔ叨群瘮?shù)φ進(jìn)行分解。實(shí)際分析中,根據(jù)不同的數(shù)據(jù)特性選擇不同的小波母函數(shù),分析比較各種小波函數(shù)處理效果,經(jīng)過(guò)對(duì)位移數(shù)據(jù)處理效果比較,最終選用的是dmey小波函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分解。

(2)確定小波分解的適當(dāng)層數(shù)j。首先分析位移數(shù)據(jù)的時(shí)間周期特性,計(jì)算出相應(yīng)的頻率；對(duì)位移時(shí)間序列進(jìn)行FFT分析,計(jì)算其最高頻率；將兩個(gè)頻率比較可確定分解的適當(dāng)層次。該實(shí)例分析中數(shù)據(jù)分解確定j=5。

在分解之后，提取第j(j=5)層的低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),即可得到該位移數(shù)據(jù)的時(shí)效變形。

圖1是基于dmey小波函數(shù)對(duì)S100XH02測(cè)點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解和時(shí)效變形重構(gòu)。從圖1中可以看出：隨著尺度(層數(shù))的增加,相應(yīng)的時(shí)間分辨率越低,信號(hào)的時(shí)效性越明顯；當(dāng)分解到第5層時(shí),高頻率的信息(d1,d2,d3,d4,d5)被濾去,剩下的信號(hào)a5即為相應(yīng)的時(shí)效變形。該結(jié)果顯示：時(shí)效變形初期增長(zhǎng)比較快,然后趨于穩(wěn)定。

該裂縫測(cè)點(diǎn)的實(shí)際情況是：初期裂縫剛形成,變形隨機(jī)因素影響較大；中期變形逐步趨于穩(wěn)定,此時(shí)主要是受溫度和水位的影響；后期變形較小,基本穩(wěn)定。圖1的分析結(jié)果表明：第一層(d1)為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),主要是隨機(jī)噪聲的影響；在第4、5層(d4,d5)的尺度上,信號(hào)主要是以周期性為主,說(shuō)明由溫度和水位引起的周期分量占很大的比例；小波分析提取的時(shí)效變形在過(guò)程線上表現(xiàn)為起伏變化,反映了時(shí)效變形隨時(shí)間變化的具體趨勢(shì)。該數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明,基于小波分析提取位移的時(shí)效變形與其實(shí)際情況相符。

為了進(jìn)行比較，在分析裂縫變形影響因子之后，同時(shí)采用逐步回歸分析方法建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行計(jì)算，得到時(shí)效變形[10]，結(jié)果如圖2所示。

圖2 兩種方法提取的時(shí)效變形比較

比較圖1與圖2的計(jì)算分析結(jié)果，可以看出，小波分析在提取位移的時(shí)效變形方面的應(yīng)用是比較合理的。圖2中回歸分析得到的時(shí)效變形在一開(kāi)始變化太快，不能表現(xiàn)具體時(shí)間段的時(shí)效變化，只是反映了時(shí)效變形的大致變化趨勢(shì)。

4 結(jié)論

提出將小波分析用于位移的時(shí)效變形提取，給出了具體的計(jì)算思路與算法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。與傳統(tǒng)的回歸分析方法相比，該方法更能有效地提取時(shí)效變形，并能反映出相關(guān)的影響因子。

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