基于小波分析的位移時效變形提取方法及其應用

羅 刊 胡 榮

(1.中國中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031； 2.華中科技大學文華學院，湖北武漢 430074)

通常情況下，除了外荷載作用會引起建筑物(或構筑物)位移的變化，建筑材料的變化(如混凝土的收縮、徐變等)以及基礎巖層在荷載作用下引起的變形等也會產生一定的影響。這些因素的影響通過位移隨時間發生的不可逆變形反映出來，即通常所說的時效變形，其特點是隨著時間的推移而逐漸趨于穩定[1]。為了判斷建筑物(或構筑物)的運營是否正常，須通過對位移的時效變化進行分析，從中進一步地分析位移的演變規律。以大壩為例，如果是正常運行的大壩，在蓄水初期時效變化急劇，運行多年后就逐漸趨于穩定。當大壩的時效變形突然增大或變化急劇時，表明大壩(或壩基)開始出現病態，此時就需要采取一定的救助措施[2]。

傳統確定時效變形的方法主要是通過半理論、半經驗的方式定性判斷，一般情況下是首先選擇好與時間有關的因子形式對實測數據進行統計建模，然后采用回歸分析方法求得系數進而確定時效變形[3]。傳統的方法在事先擬定時效因子的構造形式時，帶有一定的人為影響；另外，當影響因子與時效因子密切相關時，這種相關性會對回歸效果產生影響。而且，當位移變化的影響因子不確定時，該方法就有了一定的局限性。因此，需要研究時效變形提取的新方法。

本文以某大壩的裂縫觀測數據為例，提出利用小波分析的多分辨率分析的方法提取位移的時效變形[4]，分析位移的時變規律。

1 小波分析的基本理論

小波變換的基本思想[5]是用小波函數系去表示或逼近一個數字信號或函數，這個小波函數系是由一基本小波函數(或母小波)通過平移和伸縮來構成。

(1)

將ψ(t)經伸縮和平移后,就可以得到一個小波序列。對于連續的情況,小波序列為

(a,b∈R,a≠0)

(2)

式中：a為伸縮因子；b為平移因子。

對于任意函數f(t)∈L2(R)的連續小波變換為

(3)

在小波分析中,低頻部分對應著最大尺度小波變換的低頻系數；隨著尺度的增加,時間分辨率的降低,對信號的這種發展趨勢會表現得更明顯。而小波的多分辨率分析能將信號在不同尺度下進行多分辨率的分解,并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號分解成不同頻段的子信號,對信號具有按頻帶處理的能力[6]。

2 多分辨率分析的基本思想

多分辨率分析的基本思想[5]是：當一組{Vj,j∈Z}滿足…V2?V1?V0?V-1?V-2?…時,存在一個L2(R)上的規范正交基{φj,k;j,k∈Z},其中φj,k(x)=2-j/2φ(2-j/2-k)。

對于?f∈L2(R),有Pj-1f=Pjf+∑〈f,φj,k〉φj,k(Pj為在Vj上的正交投影,k∈Z)。

對于Vj∈Z,定義Wj為Vj在Vj-1上的正交補,于是有Vj-1=Vj⊕Wj及Wj⊥Wj′(j≠j′)。事實上,假定j>j′,則Wj?Vj′⊥Wj′。

(4)

這表明,任何函數f∈L2(R)都可以根據分辨率為2-N時f的低頻部分和分辨率2-j(j∈[1,N])下f的高頻部分(“細節”部分)完全重構。對位移的信號序列進行小波多層分解,濾除隨機成分以及隨著水位、溫度而變化的高頻部分,剩下的低頻部分就代表著位移隨觀測時間序列的發展趨勢,即為位移的時效變形[8]。

具體可通過Matlab算法實現：設{Vj}(j∈Z)是L2(R)中的一個多尺度分析,φ為尺度函數,{ψj,n}(n∈Z)為小波基,則有分解式

(5)

有重構式

φj,k(x),φj+1,l(x)〉+

(6)

3 實例應用

以某大壩裂縫觀測的位移數據為例,提取其時效變形,從而對其變形進行分析。圖1中s為S100XH02測點從2000年10月13日至2009年8月20日的位移(或開度)過程線,每10天觀測一次,即時間序列的間隔Δt=10。

圖1 dmey小波對位移數據進行小波分解

對該位移數據信號進行小波分解,討論如下。

(1)選取適當的小波尺度函數φ進行分解。實際分析中,根據不同的數據特性選擇不同的小波母函數,分析比較各種小波函數處理效果,經過對位移數據處理效果比較,最終選用的是dmey小波函數對數據序列進行分解。

(2)確定小波分解的適當層數j。首先分析位移數據的時間周期特性,計算出相應的頻率；對位移時間序列進行FFT分析,計算其最高頻率；將兩個頻率比較可確定分解的適當層次。該實例分析中數據分解確定j=5。

在分解之后，提取第j(j=5)層的低頻系數進行重構,即可得到該位移數據的時效變形。

圖1是基于dmey小波函數對S100XH02測點的位移數據進行小波分解和時效變形重構。從圖1中可以看出：隨著尺度(層數)的增加,相應的時間分辨率越低,信號的時效性越明顯；當分解到第5層時,高頻率的信息(d1,d2,d3,d4,d5)被濾去,剩下的信號a5即為相應的時效變形。該結果顯示：時效變形初期增長比較快,然后趨于穩定。

該裂縫測點的實際情況是：初期裂縫剛形成,變形隨機因素影響較大；中期變形逐步趨于穩定,此時主要是受溫度和水位的影響；后期變形較小,基本穩定。圖1的分析結果表明：第一層(d1)為隨機擾動項,主要是隨機噪聲的影響；在第4、5層(d4,d5)的尺度上,信號主要是以周期性為主,說明由溫度和水位引起的周期分量占很大的比例；小波分析提取的時效變形在過程線上表現為起伏變化,反映了時效變形隨時間變化的具體趨勢。該數據分析的結果表明,基于小波分析提取位移的時效變形與其實際情況相符。

為了進行比較，在分析裂縫變形影響因子之后，同時采用逐步回歸分析方法建立統計模型進行計算，得到時效變形[10]，結果如圖2所示。

圖2 兩種方法提取的時效變形比較

比較圖1與圖2的計算分析結果，可以看出，小波分析在提取位移的時效變形方面的應用是比較合理的。圖2中回歸分析得到的時效變形在一開始變化太快，不能表現具體時間段的時效變化，只是反映了時效變形的大致變化趨勢。

4 結論

提出將小波分析用于位移的時效變形提取，給出了具體的計算思路與算法，并通過實例驗證了該方法的有效性。與傳統的回歸分析方法相比，該方法更能有效地提取時效變形，并能反映出相關的影響因子。

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