一種基于分段冪函數插值法的經驗模態分解方法及其應用研究

毛 博，高 斐，孟 軍

（軍械工程學院電工電子實驗中心，河北 石家莊 050003）

0 引 言

經驗模態分解（empirical mode decomposition，EMD）是近年發展起來的一種適于處理非線性、非平穩信號的分析方法[1]，被認為是對以傅里葉變換為基礎的線性和穩態譜分析的重大突破，在機械故障檢測方面得到了良好應用[2-3]，其克服了傳統小波分析方法的不足，是具有良好自適應性的信號處理方法。但EMD方法的分解效果取決于包絡線生成算法，傳統EMD方法存在分解不完全的缺點[4]；為此，提出一種基于分段冪函數插值法的改進EMD算法。改進后的EMD算法采用分段冪函數插值法替代原算法中的三次樣條插值法求解包絡線，并將改進的EMD算法和時間序列分析中的AR模型相結合應用于電磁換向閥的故障診斷。

1 一種新的包絡線生成算法

EMD算法中的包絡線生成是決定分解效果的關鍵環節，包絡線生成不準確將導致信號的EMD分解不完全。目前，常用的三次樣條插值法求解包絡線要求信號足夠光滑，否則差值得到的函數可能越過原本應是極值點的信號點；因此，本文采用分段冪函數插值法來生成包絡線。

三次樣條插值法的原理如下：

記所有插值點為P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），插值函數為y=f（x）。對任意3個相鄰點Pi-1（xi-1，yi-1），Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）進行冪函數插值為

當x≤xi時，插值函數fi（x）滿足

當x≥xi時，插值函數fi（x）滿足

用fi（x），fi+1（x）重新插值以得到Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）之間的分段冪函數插值曲線為

2 基于分段冪函數插值法的經驗模態分解

2.1 基本原理

EMD方法能把非平穩、非線性信號分解成有限個瞬時頻率有意義的、幅度或頻率受調制的高頻或低頻的本征模態函數（IMF）。所謂本征模態函數，是滿足以下兩個條件的信號[5-6]：

（1）整個信號中零點數與極點數相等或至多相差1。

（2）由局部極大值點確定的上包絡線和由局部極小值點確定的下包絡線的均值為0，即信號關于時間軸局部對稱。

基于分段冪函數插值法的EMD步驟為：

（1）確定出 x（t）所有局部極值點，然后通過分段冪函數插值算法將所有的局部極大值點和局部極小值點連接起來形成上、下包絡線，包絡線應該包絡所有的數據點。

（2）計算上、下包絡線的平均值曲線m1（t），用x（t）減去m1（t）得到h1（t）：

判斷h1是否滿足IMF條件。若不滿足，則把h1（t）作為原信號重復上面的步驟，得到h11（t）：

再判斷h11是否滿足IMF條件。若不滿足，則反復篩選k次直到h1k（t）變為一個IMF，即

記 c1=h1k，則 c1為信號 x（t）的第 1 個滿足 IMF條件的分量。

（3）將信號 c1從 x（t）中分離出來，得到

將 r1作為原始數據重復步驟（1）、步驟（2），得到x（t）的第2個滿足IMF條件的分量c2，重復循環n次，得到信號x（t）的n個滿足IMF條件的分量：

式中：rn——殘余函數，代表信號的平均趨勢。

2.2 實例分析

電磁換向閥是液壓系統中一種重要的控制元件，若其出現故障，將嚴重影響液壓系統的正常運行。采集電磁換向閥工作時的壓力信號進行EMD分解，取得本征模態函數。分別用EMD算法和本文改進后的EMD算法對正常時壓力信號進行分解，結果如圖1所示。

圖1 不同插值算法對EMD分解效果的影響

由圖1可以看出，信號經改進EMD算法分解后得到9個IMFs，而經原EMD算法分解只得到6個IMFs，說明改進EMD算法分解的層數更多，效果更好；圖1（a）中代表信號趨勢的殘余分量res比圖1（b）中的res單調趨勢更為明顯，說明改進的EMD算法對信號的分解更為徹底。

3 改進EMD算法和AR模型在電磁換向閥故障診斷中的應用

3.1 基于改進EMD算法的電磁換向閥壓力信號分解

電磁換向閥是液壓系統中一種重要的控制元件，若其出現故障，將嚴重影響液壓系統的正常運行，故對其故障診斷進行研究具有重要意義。電磁換向閥的故障信息會在閥體工作時的壓力信號中表現出來，故采集其壓力信號進行分析。實驗中，人為設置電磁換向閥的 3種故障：（1）閥芯卡死；（2）閥芯磨損；（3）復位彈簧變形。

首先采用本文提出的改進EMD算法對各種狀態下采集到的壓力信號進行分解，取得本征模態函數。各種狀態的壓力信號都可以分解成若干個本征模態函數，狀態不同，對應的各階模態和模態階數也有所不同。由于EMD方法分解出來的IMF是頻率由高到低逐漸變化的，而電磁換向閥壓力信號的主要信息集中在高頻段；因此，只需對分解得到的包含主要信息的IMF分量進行分析即可。圖2給出了電磁換向閥正常工作和發生故障時的壓力信號及前3階模態函數IMF1-IMF3。

3.2 AR模型系統辨識

在時間序列分析中，AR模型是最基本、實際應用最廣的時序模型，其模型參數凝聚了系統狀態的重要信息[7]。對于時間序列 x（t）（t=1，2，…，N），其AR模型系統函數為

式中：n——模型階數；

φi（i=1，2，…，n）——自回歸參數；

at——殘差滿足均值為0，方差為σ2的獨立正態分布。

同時，大量研究表明，AR模型的自回歸參數和殘差方差對狀態變化規律反映最為敏感，因此采用AR模型的自回歸參數和殘差方差作為特征向量來分析系統狀態變化十分有效[8]。

得到電磁換向閥各工作狀態的IMF分量后，對其建立AR模型。要建立各IMF分量的AR模型，首先應進行定階運算。基于均方誤差最小的最終預測誤差（final prediction error，FPE）準則是確定 AR 模型階次比較有效的準則，在準則函數取得最小值時的模型為適用模型。圖3為對正常狀態時的前3個IMF分量采用FPE準則進行定階運算的結果。

由圖3得到各IMF分量階次依次為36，19，13。實際應用中，系統的狀態主要由前幾階的自回歸系數和殘差方差決定，為減少計算量，選擇前5階自回歸參數φi（i=1，2，3，4，5）和殘差方差ei作為特征向量[9]。表1列出了4類狀態下前3個IMF分量的特征向量。

圖2 電磁換向閥各工作狀態下的EMD分解結果

為驗證所提取特征向量的有效性，采用Mahalanobis函數來對測試數據進行狀態識別[10]。ai表示被診斷信號第i個IMF分量的特征向量的加權系數。通過分析，發現在加權系數a1=0.4，a2=0.3，a3=0.3的情況下計算結果對故障的分辨率最為敏感，此時識別結果最為準確。表2列出了8個不同信號的分析結果，可以看出，識別結果與實際完全一致，從而驗證了該方法可以有效提取電磁換向閥的故障特征。

圖3 IMF分量定階曲線

表1 電磁換向閥各工作狀態下的特征向量

4 結束語

針對EMD算法分解的不充分，提出了基于分段冪函數插值的改進EMD算法。實例證明，改進后的EMD算法對信號的分解效果更充分完全。將改進算法EMD和AR模型相結合應用于電磁換向閥的故障診斷，對閥體壓力信號經EMD分解后得到IMF分量，對各分量建立AR模型，提取模型參數作為特征向量。實驗結果表明，該方法能夠正確有效地實現電磁換向閥的故障診斷。

表2 測試信號分析結果

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[3]Tavakkoli F，Teshnehlab M.A ball bearing fault diagnosis method based on wavelet and EMD energy entropy mean[J].International Conference on Intelligent and Advanced Systems，2007：1210-1212.

[4]鐘佑明，金濤，秦樹人.希爾伯特-黃變換中的一種新包絡線算法[J].數據采集與處理，2005，20（1）：13-17.

[5]孟宗，顧海燕.應用經驗模態分解下的AR模型提取旋轉機械故障特征[J].燕山大學學報，2011，35（4）：342-346.

[6]李世平，付宇，張進.一種基于EMD的系統誤差分離方法[J].中國測試，2011，37（3）：9-13，36.

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