大位移磁致伸縮傳感器的彈性波建模與分析*

代前國，周新志

(四川大學電子信息學院，成都610065)

位置測量方式很多，隨著測量精度和測量環境的工業性要求，傳統位置傳感器不能滿足要求。磁致伸縮位移傳感器是一種新型的位移傳感器，其有測量精度高，測量位移大，測量非接觸[1－4]，適用于惡劣環境中對位置的測量。廣泛應用于石油，航空，水利，數控，自動化等工業環境中[5－7]。

目前，國內正處于對該傳感器的自主研究和設計階段，該傳感器測量位移不是很大，大位移傳感器主要靠進口。研究主要集中在傳感器材料和傳感器系統集成方面，該傳感器測量位移不大，在5 m以內。由于該傳感器涉及材料，力學，電磁學和信號處理交叉學科，難以對傳感器建立一個系統的數學模型。本文主要對基于FeGa材料為波導絲的彈性波進行建模和分析。根據波導材料的動力學原理，建立了FeGa磁致伸縮波導絲的彈性波振動方程[8－9]。同時根據磁致伸縮材料的魏德曼效應(Wiedman Effect)和Jile-Atherton磁點耦合模型給出磁致伸縮位移傳感器彈性波信號的模型以了解彈性波的傳遞特性[10－11]。

1 磁致伸縮位移傳感器原理

磁致伸縮位移傳感器系統主要由脈沖發生電路，波導絲和彈性波信號接收電路3部分組成，組成系統如圖1所示。發射端脈沖發生電路向磁致伸縮波導管施加一個電流脈沖Ip，該電流脈沖沿磁致伸縮波導管向另一端傳播。此周期電流脈沖將產生一個環繞磁致伸縮波導管的環向磁場Φc，同時在波導管外部環形永久磁鐵產生一個沿波導絲軸向的穩恒磁場Φr。當環向磁場Φc遇到軸向穩恒磁場Φr時，產生疊加并形成一個螺旋形的合成磁場Φ。根據磁致伸縮材料的磁致伸縮效應，在合成磁場Φ的作用下，將使磁致伸縮波導管產生瞬時局部扭轉變形，從而形成扭轉超聲波[3，5]。該超聲波以恒定的速度v向兩邊傳播。

圖1 磁致伸縮位移傳感器工作原理

同時，在信號檢測線圈端，由于魏德曼效應可以檢測出彈性波信號，檢測信號電壓由式(1)可得。

其中εo是感性線圈感應電動勢，N是線圈匝數，S是線圈橫切面的有效面積，dB/dt是磁場的變化率。測量輸出脈沖信號和接受信號的時間差T，則可以根據L=vT測量出永久性磁鐵的距離。

2 彈性波的振動模型

圓柱型FeGa材料的波導絲具有連續性，均勻性，各向同性，小變形等特性。以永久性磁鐵的位置為中心原點建立坐標，如圖2所示，分析和建立波導絲振動力學方程。

圖2 磁致伸縮材料波導絲的扭轉波產生

設波導絲的單位質量為ρ，圓切面對其中心的極慣性矩為I，材料的彈性模量為E，波導絲軸的橫截面在扭轉過程中，x截面的轉角位移用φ(x，t)表示。在x截面處取出一小段dx作為隔離體，如圖2所示，列出受力平衡方程ΣM=0:

即是:

式中:T為x截面的扭矩。根據材料力學中圓軸扭轉的扭轉角公式，有

將式(4)代入式(2)，可得

3 磁機耦合方程

因為磁致伸縮材料伸縮一般很小，同時接收線圈長度也很小，磁致伸縮過程主要與磁場和材料的機械性能相關，其中線性主要有兩個線性磁機耦合方程[11－12]:

其中ε和σ是FeGa材料縱向應力和軸向應力，E是楊氏彈性模量，μσ是在磁場作用下的相對磁導率，方程中dσ和d分別是磁致彈性波耦合系數和逆磁致彈性波耦合系數，其分別有式(9)和式(10)所示定義。同時方程(6)反映了磁致伸縮材料FeGa的彈性特性(σ/E)和磁致特性(dH)，方程(7)包含了由于彈性應力作用下磁致伸縮效應直接產生的磁化現象[13]。

要使如上磁機耦合方程成立，要假設方程中所涉及磁致伸縮，逆磁致伸縮，彈性波和磁化等有關變量都是線性相關的，因此要求在接收線圈處的磁致伸縮區域力學特性是線性的。同時由于電流的趨膚效應忽略渦流和磁致伸縮材料的磁滯效應。

在彈性波傳遞過程中，根據逆磁致伸縮效逆磁致伸縮效應和磁機耦合關系[14]如下，

其中λ是磁致伸縮系數。?φ/?x是磁致伸縮應力。等式中磁場強度已知，在給定線圈參數情況下，磁場可以計算出來。根據材料力學 T=σ和式(5)、式(10)和式(4)3個等式可得

該方程是一個二次偏微分方程，解比較復雜。在實驗中，波導絲直徑很小，極慣性矩I變化小，視為單位極慣性矩。而只考慮在永久性磁鐵處出現最大的磁致伸縮效應，波導絲其他點的磁致伸縮不考慮，但是由于永久性磁鐵和脈沖合成的磁場H是不均勻分布的，可用H(x，t)表示。同時，由于實驗中使用的時周期性大電流脈沖I(t)，根據傅里葉變換

其中s(ω)是I(t)的傅里葉變換，周期信號I(t)可有一頻率不同的解析信號線性組合而成，因此，假設φ(x，t)=φ(x)ejwt，為了方程計算更加簡單，假設H(x，t)=H(x)ejwt，因此方程(12)可化簡為

該方程是一個二次差分方程，其通解可表示為

等式中A，B固定振蕩部分為待定系數，由于磁致伸縮效應和后面線圈對信號的接收，只考慮強迫振蕩則有:

4 線圈接收信號輸出模型

考慮彈性波信號接收線圈，如圖3所示，線圈開路，線圈不會產生電流，從而不存在磁場強度H，影響磁感應強度的主要因素為磁致伸縮效應的應變σ(?φ/?x)，即式(11)可化簡為

該方程表示接收線圈在開路情況下的逆磁致伸縮機磁耦合方程[15]。然線圈每單位長度的線圈匝數為n，截面有效區域為 s，取微小的 dx長度，匝數為ndx。則通過ndx的磁通量

將式(16)代入得

同時在永久性磁鐵位置處有合成磁場

Hr為永久性磁場，HI為脈沖電流磁場有HI(x，t)=kIC(x)，Hr(x，t)=Hrf(x)。其中k為電流與磁場耦合系數，近似為 k=1/(2πr)(r為波導絲半徑);c(x)，f(x)位置分布函數。

由式(19)和式(20)可得

實際中，必須考慮信號能量的衰減，假設衰減函數為g(x)，g(x)是位置衰減型的函數。則有電壓輸出電壓函數

圖3 接受信號線圈

由電壓輸出式(21)可知，彈性波輸出電壓主要受以下因素影響;磁致伸縮材料的磁致伸縮系數λ，波導絲半徑r，接受線圈匝數n，和截面的有效面積s，材料的相對磁導率μr和輸入電流I(t)和永久性磁場在環向的磁場Hc(Hc為Hr在環向的磁場最大值)等影響。如果線圈特性和波導絲材料都固定的情況下，決定輸出電壓的因素主要是脈沖電流，I(t)→Vo，Vo∝1/x，即x位置的增加信號輸出幅度減小。

5 實驗結果與分析

數學模型是建立在理想條件下的，其彈性波的動力學模型是自由振蕩模型，實際試驗中不可能是這樣。實驗中，如圖4激勵電流脈沖頻率為250 kHz，脈沖寬度為 28 μs。

圖4 激勵脈沖波形

波導絲用FeGa材料，長度為2 m左右，波導絲直徑約為5 mm。信號檢測線圈匝數約為300匝，經過信號放大，信號濾波后，不同位置的信號幅度波形檢測如圖5(a)所示。

圖5

由實驗結果圖5(a)、5(b)所示，在理論模型基礎上，以FeGa材料為核心搭建的實驗系統很好實現了對信號的檢測。實驗中，以2 m為測量量程，測量了4個位置點原始輸出信號，實驗結果如圖5(b)所示。實驗測量時檢測信號幅度小，在mV級，同時隨著距離增加輸出信號存在二次函數衰減。位置不變情況下，不同輸入電流對輸出信號幅度影響，如圖6所示，脈沖電流越大輸出信號幅度越大，成正比例關系。同時從圖5(b)可以看出，該傳感器有較好的線性測量特性;試驗中通過光柵尺對傳感器進行標記，該傳感器精度能達到20μm。

圖6 不同電流輸入的輸出信號幅度

實驗結果顯示，輸出信號幅度與輸入電流成正比、與測量位置成反比。由于系統誤差和人工誤差和忽略了環境干擾對測量信號的影響，通過多次重復測量減少誤差，使得實驗結果和預期的結果基本吻合，說明了該彈性波模型的可行性。

6 結論

FeGa是一種磁致伸縮系數較大的材料，以其作為波導絲能很好實現磁致伸縮位移傳感器功能。磁致伸縮位移傳感器系統是多學科交叉，建立統一模型比較復雜，很難對該系統進行定量分析。本文通過對波導絲的振動方程和材料力學方程和磁機耦合方程3個方面考慮，推導出了信號輸出模型是距離的變化，并假設信號的衰減。通過實驗獲得信號輸出，驗證信號輸出與模型的一致性。建模過程中，由于模型的復雜性，如溫度特性、磁滯特性、剩磁特性等被忽略了，系統模型需要進一步提高，但該模型對磁致伸縮位移傳感器的理論研究有積極意義。

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