扭轉式微小力傳感技術研究*

關 濤，劉 錚，鄭葉龍，趙美蓉，林玉池

(天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津300072)

近年來，隨著航空航天、儀器儀表、生物醫藥以及微納制造等各個領域的發展，微小力值(≤10－5N)的計量在各個領域中占據著越來越重要的位置。但是由于受最小標準砝碼(1 mg)的制約，目前國內可測量及溯源的，即可計量的最小力值為mN級[1]，大約在10－3N～10－4N。當質量小于 mg級時，質量本身存在很大的不確定度，因此各國并沒有建立統一的微小力值的計量方法[2]。

美國、德國、英國、日本、韓國先后構建了微力測量及溯源的體系及裝置[3－5]，但由于微小力傳感傳遞機構的靈敏度與穩定性很大程度上決定了微力測量及溯源的成功與否，各國的方案各不相同，且各有利弊，很難同時達到較高的穩定性和靈敏度。

此外，國內近兩年也在該領域展開了探索，如彈簧懸掛式、軸承側臥式靜電力發生裝置[6－7]，并形成了初步成果，但其測量精度都由于力學傳遞機構的靈敏度與穩定性缺陷，以及最小標準砝碼等限制，難以進一步提高。從國內外對微小力測量與溯源領域的研究來看，微力感應與傳遞機構是限制微小力測量與溯源精度的主要因素之一，可見微力傳遞機構是微小力測量與溯源裝置成功與否的關鍵。

以下介紹一種正在探索的基于扭轉杠桿原理的微力測量及溯源技術，本文的重點在于對小剛度的微小力傳動機構的創新性探索。

1 扭轉式微力測量及溯源系統原理及裝置

本裝置是基于靜電力的基本原理來進行的，采用靜電力原理復現力值，以靜電力平衡杠桿作為微力感應與傳遞機構，通過SI中的長度量和電學量相結合，進行力值測量與溯源。系統原理示意如圖1所示。靜電力的產生部分是一個變截面型的圓柱形電容器，該電容器由一組同軸圓柱形電極構成，其中外電極通過組合平移臺固定，而內電極可以隨杠桿沿豎直方向自由移動，當電壓施加于內、外電極時即產生靜電力，因此通過控制電容器兩極的電壓值，以靜電力平衡微小力(標準質量)，達到微力測量與溯源的目的。

圖1 裝置原理示意圖

如果內外電極同軸，平面內的電容梯度將具有徑向對稱性，內電極所受合力為豎直方向[8－9]，則靜電力與施加控制電壓之間的關系由式(1)給出。

其中，F為靜電力(單位為N)，U為內外電極電壓差(單位為V)，dC/dZ為電容梯度(單位為 F/m)，即電容隨豎直方向位移的變化率。當電容器參數確定后，其電容梯度為定值，因此式(1)中的靜電力由電壓決定。

電容梯度可由實驗獲得，在電容器安裝調整完成后，利用平移臺豎直移動外電級，得到位移量dZ，同時利用電容測量裝置測量出電容值的變化量dC，從而得到dC/dZ。

微力測量過程中，通過激光尺測量內電極的位置，確定平衡位置，當施加微力F，杠桿略偏離平衡位置時，通過施加電壓U產生靜電力，使其平衡微力F，則由平衡時的電壓U可以計算得到靜電力值，從而獲得微力值F。在溯源過程中，通過靜電力平衡標準質量產生的重力，可以得出標準質量與電容器電壓的關系，達到力溯源到標準質量的目的。

2 力學傳遞模塊分析

微力測量與溯源的最大困難是微小力的傳遞，力傳遞系統需要極高的靈敏度以及較快的穩定速度。本裝置采用杠桿作為力值傳遞機構，而杠桿常用的是刀口支撐，如天平等，但是刀口產生的摩擦力矩會帶來微小力測量誤差。本方案利用彈性材料受力產生微小彈性變形的特性，設計了扭轉式支撐，作為杠桿的支點，其具有體積小、無機械摩擦、無間隙、精度高、穩定等性能，適合微位移微小力的傳遞，Iafolla V等人曾利用此類扭擺測量引力常數G[10]。此外，由于最小砝碼(1 mg)僅能提供10－5N的力，為了達到更小的力值傳遞效果(＜10－5N)，杠桿設計為變臂長結構，但若臂長比過大，則易產生較大的不等臂誤差[11]，故選用臂長比為1∶1及2∶1作為初步設計方案。為了在提高靈敏度的同時不影響扭轉杠桿的強度，采用重心調節桿來提高杠桿重心，提高其靈敏度。如圖2(a)所示，其柔性靈敏部分為中央扭轉桿，為提高扭轉的均勻性，其有效扭轉截面設計為正方形，正方形扭轉桿等效力學模型如圖2(b)所示。

圖2 扭轉桿受力模型圖

其中L為扭轉桿的單邊有效長度，a為扭轉桿正方形截面的邊長;假設支撐座的應變為零，安裝時扭轉桿沒有殘余應力，那么在外力矩MT作用下，扭桿扭轉的角度可以表示為:

其中G為材料的剪切模量(單位為N/m2)，IT=a4/12為正方形極慣性矩(單位為m4)，在微小位移的情況下，扭轉變形可看成是線性的，因此對于橫截面為正方形的扭桿，其單邊扭轉剛度可以表示為:

為了提高扭桿抵抗屈服強度的能力，同時保證具有很好的靈敏度，通常在扭轉桿柔性部分和固定端之間加工圓角[12－14]。為了確定固定端對扭轉的影響，分別對固定端方式進行Ansys仿真，扭轉桿的三種方式的簡化模型如圖3所示，三種方式的柔性扭轉部分尺寸相同，截面為邊長1 mm的正方形，長度為20 mm，倒圓角r=1 mm，僅固定端形式不同，并導致倒圓角的個數及狀態有所不同，其中(a)為片狀固定端，固定端的厚度與柔性部分厚度相同，故僅有兩個方向的倒圓角，(b)為方形固定端，厚度大于3 mm，擁有4個方向完整的倒圓角，(c)為薄方形固定端，厚度為2 mm，由于倒圓角r=1 mm，故厚度方向的倒圓角不完整。給3個扭轉桿中心加載一個相同的轉矩，仿真結果如圖4所示。

圖3 扭轉桿的三種方式示意圖

圖4 扭轉桿的三種方式仿真圖

由圖4，可以看出，(a)方式的最大位移值D=0.363×10－3mm，最大應力值 S=0．294×10－4N;(b)方式的最大位移量 D=1．315×10－3mm，最大應力值 S=0.425×10－4N;(c)方式的最大位移值 D=1．203×10－3mm，最大應力值 S=0．643×10－4N。可見，后面兩種方案有較好的靈敏度，然而，采用不完整的倒圓角會帶來局部應力的提升，為了使扭轉桿具有較好的強度，并同時具有較好的靈敏度，選用方案(b)作為實驗裝置。

圖5為簡化的扭桿示意圖，由此可以計算得到扭轉桿繞 x 軸[15－17]的扭轉剛度為

其中a=0．333，b=0．21均為常系數，L為有效扭轉長度，r為倒圓角半徑，t、w分別為扭轉桿矩形截面的長與寬，由于采用了正方形截面則w=t。

圖5 扭桿示意圖

扭轉桿采用的鈹青銅板狀材料(QBe2．0)，其具有高硬度、高彈性、無磁性等特點，適于制造精密柔性結構。它的主要物理特性和機械性能有:楊氏模量 E=1．3×1011N/m2，剪切模量 G=5．0×1010N/m2，泊松比 ν=0．33，密度 ρ=8260 kg/m3，熱膨脹系數為1．78×10－5/℃，熱時效處理前的拉伸強度為 σs=637×106Pa，熱時效處理(溫度300℃，時間1．5 h)后的拉伸強度為 σs=1176×106Pa。

由式4可知，扭桿的剛度主要決定因素是其柔性部分的截面邊長t，其對應關系如圖6所示，近似為4次方關系。由以上分析，可以計算出截面邊長t為1 mm，單邊有效扭轉長度L為20 mm，倒圓角半徑r=1 mm時，單邊扭轉桿的扭轉剛度的理論值為0．3 N/rad。雙邊扭轉桿模型相當于彈簧并聯，兩邊的扭轉變形相同，產生相同的扭力，扭力疊加值平衡外來的扭矩，故此雙邊扭轉桿的理論剛度為0．6 N/rad。所以當加100 mm的杠桿(單邊力臂)時，理論靈敏度可達6 N/m。由于激光尺的分辨力約為10 nm，故此微力系統的理論分辨力可達6×10－8N。實驗裝置如圖7所示。

圖6 扭桿剛度與截面邊長的關系

圖7 實驗裝置實物圖

3 實驗結果及誤差分析:

為了采用現有裝置測量扭轉桿剛度，采用激光尺測量杠桿受力后的位移值，從而計算出扭轉杠桿的實際剛度與靈敏度。實驗選用1∶1杠桿，杠桿臂總長200 mm，扭轉桿截面邊長1 mm，選取不同標稱的標準質量(E2級)加載于杠桿托盤，并使用激光尺測量杠桿(內電極)位移值，實驗結果如圖8所示。

由圖8可見，扭轉桿截面邊長為1 mm時，扭轉杠桿的剛度約為10 N/m，且質量與位移之間有較好的線性對應關系，線性度不低于98%，能夠滿足測量與溯源的要求。以下分析本裝置及方法的誤差來源及改進方向。

圖8 采用截面邊長為1 mm扭轉桿的剛度測量結果

扭轉式靜電力測量的誤差來源于多個方面，其中誤差主要來源于:內外電極偏離同軸、電源電壓的精度、標準砝碼的精度、各尺寸加工精度、扭桿彎曲變形、杠桿變形、環境振動等。下面主要分析傳動機構帶來的誤差，即扭桿彎曲變形及杠桿變形。

已知扭桿的形變是彎曲和扭轉的組合形變，則在加載外力(或質量)時，激光尺測出的位移為彎曲和扭轉放大的位移合。當單邊扭桿的長度為L時，雙邊梁產生的最大彎曲撓度為[18]:

其中，P為扭桿受到的力，L為扭桿長度，E為材料的楊氏模量，I為極慣性矩。激光尺分辨力為10 nm，現在取扭桿截面為邊長為1 mm的正方形，長L=20 mm，位移 y=10 nm，此時加載的力值 P=3．2×10－4N，即當測量的力值大于10－4N時，扭桿產生的彎曲變形已經較大的影響其扭轉測量效果。但在力值較小的范圍時，由公式(2)和式(5)，可得扭轉變形和彎曲變形的比值:

其中，Y為杠桿臂長，L為扭桿長度，E為材料彈性模量，G為材料剪切模量。若扔選用鈹青銅為扭轉桿材料，則K=62Y2/L2，即相對誤差取決與杠桿臂長Y與扭桿長度L的比值，實驗中選用L=20 mm，Y=100 mm，則K=1 550，即彎曲誤差對測量精度的影響小于1‰。

除此以外，在加載外力時，杠桿臂也會產生一定的彎曲變形，由材料力學，單邊梁產生的最大彎曲撓度為:

假設，杠桿截面為邊長為10 mm的正方形，長L為100 mm，載荷取10－4N，杠桿材料選擇絕緣的非金屬塑料，取E=0．1×1011N/m2，可以得出此時的杠桿的彎曲值 y=4×10－9m=4 nm，且由式，4、5，此時扭轉杠桿的扭轉變形量為1．7×10－5m，扭轉桿的彎曲變形量為6．2 nm。可見此時杠桿與扭轉桿的變形已經能夠被激光尺檢測到，其對測量結果的誤差影響約為6‰，且隨著被測力的減小，其對系統測量結果影響逐步減小。

4 結論

本文介紹了一種正在探索的基于扭轉式杠桿原理的新型微力測量及溯源技術，并深入探討了扭轉式微力傳感機構的特點，分析了微小力傳遞機構對整體測量的影響，從材料力學出發，利用有限元分析得出了倒圓角與固定端的形式對扭轉桿的應力與靈敏度的有較大影響，結合扭轉剛度公式，分析了扭轉杠桿的各項參數對其分辨力的影響，同時推倒得出扭桿的扭轉彎曲比，及其對系統測量誤差的影響。在此基礎上，搭建了基于扭轉式杠桿的微小力測量平臺，并進行了理論驗證實驗。實驗結果表明，扭轉式杠桿具有較高的力學分辨力，能夠滿足微小力(≤10－5N)的測量與溯源，為后續的進一步研究提供了理論和實驗的基礎依據。

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