二次函數型問題及變式

摘 要： 二次函數型問題是高中數學的教學重點與難點，也是高考和學業水平考試的重點與難點.二次函數型問題形式多樣，解題方法靈活.但有些學生在解答二次函數型問題時容易出現錯誤，甚至束手無策.本文就一個習題教學案例進行分析與拓展，總結了二次函數型問題的幾個常見類型，旨在鞏固二次函數的圖像與性質，揭示二次函數型問題常見的解決思路與方法.

關鍵詞： 二次函數型問題 變式 數學表達能力 習題教學

習題課是數學課堂教學中的一種重要的不可或缺的課型.習題教學的重點在于及時掌握學生在解決數學問題的認知基礎和心理狀態，對學生易錯題進行仔細分析，拓展與變式，提高學生的數學思維能力和數學表達能力.加強習題教學案例分析是提高習題教學效率的切實可行的措施.本文就一個習題教學案例的分析，小結了常見二次函數型問題及其解決思路.

一、一個習題教學案例

設函數f（x）=■（a<0）的定義域為D，若所有點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區域，則的值為（ ）

（A）-2 （B）-4 （C）-8 （D）不能確定

習題設計說明：本題旨在考查函數f（x）=■（a<0）的定義域、值域.主要分析思路是：設關于x的方程■（a<0）的兩個根分別為x■，x■，由題意得|x■-x■|=f■（x），即■=■，則|a|=2■，解得a=-4，所以選B.此題是對學生是否掌握了用數形結合思想方法解決二次函數型問題的一次很好的檢驗.但統計發現，只有62%的學生做對.經過分析與教學反思，我對此題進行了拓展變式.

二、案例拓展與變式

1.與二次函數定義域有關的問題

（1）已知n∈N■，函數f（x）=n（n+1）x■-（2n+1）x+1圖像在軸上截距之和為？搖 ？搖.

分析：已知拋物線與x軸交點的橫坐標分別為■、■，這兩點間距離為■-■，所以當n∈N■時，所求截距之和為

■[（1-■）+（■-■）+…（■-■）]=■（1-■）=1.

2.與二次函數值域有關的問題

（2）若函數y=lg（ax■+2x+1）（a∈R）的值域為R，則實數a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：（1）當a=0時，y=lg（2x+1），其值域是R，符合題意；

當a≠0時，得a>0△=4-4a≥0？圳0

3.利用二次函數的性質可以解決定義域和值域共存問題

（3）①若關于x的不等式x■-ax+a+1<0對于x∈（2，3）都成立，則實數a的取值范圍為？搖 ？搖.

②若存在x∈（2，3），使得x■-ax+a+1<0成立，則實數a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：①由已知，得△=（-a）■-4（a+1）>0，f（2）≤0f（3）≤0？圯a≥5；

②設x■-ax+a-1=0，則（x-1）（x-a+1）=0，

解得x=1或x=a-1.由已知，得拋物線y=x■-ax+a-1與x軸有兩個交點（1，0），（a-1，0），且a-1>2，因此a>3.

（4）若關于x的不等式x■-ax+a<0有兩個整數解，則實數a的取值范圍是？搖 ？搖.

解：設f（x）=x■-ax+a，其圖像對稱軸是x=■.

由△=（-a）■-4a>0，解得a<0或a>4.

當a<0時，■<0，且f（1）>0，f（0）=a<0，

由題意得f（-1）<0f（-2）≥0，

即1+2a<04+3a≥0，解得-■≤a<-■；

當a>4時，■>2，且f（1）>0，f（2）=4-a<0，

由題意得f（3）<0f（4）≥0，

即9-2a<016-3a≥0，解得■

三、結語

對習題教學案例分析與拓展變式是習題教學的一種好的形式.二次函數型問題是易錯問題，它是教與學的重點和難點，也是高考與學業考試的重點與難點.二次函數型問題分類與解決有助于學生理解二次函數圖像與性質，有利于揭示二次函數型問題常見的解決思路與方法.

參考文獻：

[1]徐明.小填空，大乾坤[J].中學數學教學參考，2013（6）：61-63.

[2]黃美.“二次函數在閉區間上的最值問題”的教學案例[J].上海中學數學，2011（1-2）.