中學數學建模的“四化”策略

摘 要：中學數學建模活動能夠提高學生的實踐能力和創新意識，體現新課標要求。數學建模本質上是實際問題的一種數學表述。中學數學建模的策略有：實踐問題數學化、數學問題生活化、生活問題模型化、模型問題實踐化。在中學數學教學中，適度地開展數學建模活動，可以有效地改變學生的學習方式和學習態度。

關鍵詞：中學；數學建模；策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）02-0047-03

我國的課堂教學重視對知識和技能的掌握，而忽視對學生的能力培養，特別是解決實際問題的能力。顯然，這不利于學生的實踐能力和創新精神的養成。突出表現在數學課堂中，數學教學異化為解題技術的教學，導致許多學生成了解題的“機器”。而“數學建模”作為“問題解決”的一個重要方面，目前在教學實踐中的研究尚不夠具體和深入。

本文就數學建模的策略和途徑進行探析，其主要思路：一是探討教師如何通過對問題解決的過程分解，把一些較小的數學建模問題，放到正常教學的局部環節上；二是探討教師如何用數學模型的觀點來概括數學知識，在正常教學中導入數學建模思想與方法。按《課標》要求，“中學階段至少應為學生安排一次數學建模活動，還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建模活動與綜合實踐活動有機地結合起來”。為此，筆者就中學生數學建模能力的培養途徑做簡要分析，以期為在數學建模教學及其研究提供參考。

一、實踐問題數學化

數學建模就是在一定假設條件下找出解決所研究問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。簡而言之，數學模建就是實際問題的一種數學表述。各種數學公式、方程式、數學理論體系等，都是一些具體的數學模型。由于實際問題的復雜性，在解決此類問題時，教師應從“數學化”的角度入手，建立數學模型，再根據模型解決問題。

例：一個長為13m 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面垂直距離為12m，如果梯子的頂端下滑1m ，那么底端滑動的距離比1m大還是小？

對于這樣的一道初中數學平面幾何問題，我們應該怎么引導學生運用數學建模去分解呢？首先應讓學生仔細觀察理解題意：梯子斜靠在墻上，與墻和地面構成一直角三角形，梯子是斜邊，墻和地板是兩直角邊，這明顯是一道勾股題。梯子下滑，則斜邊的長度沒變，一直角邊從12m變成了11m，另一邊即梯子下端與墻腳的距離原來是多少，現在又是多少？模型是一個對象的客觀規律的“量化”表達，引導學生利用勾股定理建立一元二次方程模型，即可“量化”梯子底端滑動的距離。

從這道題的解決過程可以看出，用數學建模“解決”現實問題時，其具體的操作程序（數學模型方法）大致上為：

實際問題→分析抽象→建立模型→數學問題

↑ ↓

實踐檢驗←實際解決←數學解釋←數學解決

現實問題中表現形式為實際的現實問題或虛擬的現實問題，該問題屬于虛擬的現實問題。解決該問題本質上就是實現兩個“轉化”——數學建模。第一個轉化是從紛亂的實際問題中獲得有用的信息，抽象成數學問題；第二個轉化是分析其中的數量關系，運用數學的方法解決問題。現行的課標教材比較注重第一個轉化，經常提供生活具體情境，讓學生收集、整理、選擇，并提出數學問題。在中學階段，數學建模解決的實際問題多是虛擬的現實問題即中學應用題。但是通過此類問題的學習，可以“使學生學會綜合運用所學知識和方法解決簡單的實際問題，加深對所學知識的理解，獲得運用數學解決問題的思考方法。”這里也體現了數學建模思想在中學教學中的重要性。

二、數學問題生活化

由于教材中大多問題都是完全“數學化”之后的問題。因此，針對這樣“純而又純”的數學問題教學，需要設置與學生密切相關的生活情境，才易引起學生關注。讓學生親身體會到數學與自然及人類社會的密切關系，體會數學的應用價值。學生看到能用自己所學的知識切實解決生活中的問題，勢必增強進一步學習的信心和持續學習的興趣。

例：已知a，b，m∈R+，且a

這是教材中不等式章節的一道例題。如果在課堂中采取平鋪直敘、就事論事的方法進行授課的話，那就顯得過于單調、乏味，學生也不會感興趣，更不會完全投入到課堂中來。為了體現出這個所證的不等式在現實生活中的應用，以提高學生的學習興趣并培養學生對解決實際問題的能力，我們不妨從以下材料中建模引入。

建筑學上規定：民用建筑的采光度等于窗戶面積與房間地面的面積之比，但窗戶面積必須小于地面面積，采光度越大說明采光條件越好。現在問增加同樣的窗戶面積與地面面積后，采光條件是變好了，還是變壞了，說明理由（設窗戶面積為a，地面面積為b，增加面積為m）。這不就輕輕松松提高了學生求知的欲望，達到我們培養學生用數學知識去觀察、分析、提出和解決問題的能力，通過解決實際問題（建模過程）去理解相應的數學知識的目的了嗎？因此，數學課堂中建模能力培養必須與相應的數學知識學習結合起來。徐利治教授把數學模型法劃分為3個步驟：分析現實原型關系結構的本質屬性，確定數學模型的類別；確定所研究的系統的主要矛盾、選擇主要因素；用數學語言表述對象及其關系[1]。

數學問題“生活化”，能使學生將已有的數學知識遷移到他們不熟悉的情景中去，這既是一種遷移能力的培養，同時又是一種主動運用已有的知識解決問題能力的培養。

三、應用問題模型化

應用問題是培養學生建模能力的極好的載體，對這類問題的解決應該給予充分重視。現行教材內容，中學數學應用題主要有：勾股定理的應用，根判別式的應用，完全平方的應用，集合交、并、補的應用，不等式的應用，函數的應用，指數函數和對數函數的應用，三角函數的應用，向量的應用等。實踐表明，數學建模思想對培養中學生觀察力、想象力、邏輯思維能力、解決實際問題的能力起到了很好的作用。因此，必須在平時的數學教學中配合教材適時滲透數學建模能力的培養。

例：墻上掛一幅畫，畫的下底距離地面a米，上底距離地面b米，則人站在地面多遠處看這幅畫最清楚？

這道題我們可以追溯到教材中一道課后習題：點A（0，a），B（0，b）分別在y軸的正半軸上，C點在x軸正半軸上，則當C在何處時，∠ACB所成的角最大？

這類問題的解決，應該嘗試給出這類問題的一般建模策略，即強調“通性通法”。

在讓學生完成問題的基礎上，通過推廣和拓展問題，引導學生如果題目進行條件或結論“變式”后，又應該如何去建立模型，讓學生舉一反三，避免“讀死書”，培養學生掌握思維方法，提高思維品質，能夠把靜止的知識轉化為運動的能力。如

變式一：甲、乙兩支球隊進行足球比賽，已知足球場長90米，寬47米，球門位于底邊的正中位置，甲方球員從己方底邊開始沿邊線帶球向對方進攻，則該球員在何處射門，進球的可能性最大？

變式二：某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖l所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l.且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=■，試問此人距水平地面多高時.觀看塔的視角∠ACB最大（不計此人的身高）。

該問題的解法在現實生活中有廣泛的體現，教學中應加強舉例，拓展其方法和思想的應用價值。建模是數學有效教學的起點，在數學教學過程中，讓學生積極參與數學模型的創建過程，能有效地促進學生數學知識和數學能力的發展，體會到數學的價值，享受到學習數學的樂趣。

四、模型問題實踐化

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》和《普通高中數學課程標準（實驗）》中均強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。”因此，培養中學生數學建模能力就不能局限于課堂教學，而應該把建模和生活實踐聯系起來，這樣更能夠體現建模思想的實用價值。由于問題模型與現實客觀事物相比，其優點是簡單、經濟、便于操作和試驗，通過對模型的試驗，可以對實際問題做出客觀的分析。數學建模正是“通過應用已有的數學知識于數學模型，解決現實問題，證實自身的價值和真理性”[2]。

例 （紅綠燈時間配比問題）城市的交通通暢依賴于交通管理方案，這種管理方案包括：（1）每個交叉路口設置紅綠燈；（2）每個交叉路口紅綠燈間的同步。如果控制不好，可能造成一個或多個交叉路口出現交通堵塞，試給出紅綠燈最佳的時間配比。

此類問題由于其復雜性，教師在課堂上可以討論問題的價值、講解思路，讓學生利用課外時間帶著興趣和好奇心在實踐中去思考和解決，把課堂中的問題延伸至課外，而使得學生體會生活中數學建模的過程和方法的廣泛的應用性，與單純的“exercise”（練習）相比，學生樂于探索而不會感到枯燥。

這類問題，并不能通過直接套用書本上的公式來解決，而是通過對已掌握的知識和方法的重新組合并生成新的策略和方法才能實現問題的解決。因此，數學建模的過程也是一個創新的過程，它不僅使得學生在建模實踐中獲取解決問題所需要的知識和方法，還可以讓學生養成團隊合作的意識和創新的思維習慣，從而為今后實現更高層次的創新奠定良好的基礎。

其實抽象的數學問題，教師均可以通過引導學生結合生活的認識去建立數學模型，只要精心設計，課本中的“exercise”大都可挖掘出生活模型，發展為“problem”（問題），這對于學生正確的數學觀乃至人生觀養成具有不可低估的影響。

總之，數學建模在中學數學課堂教學中能夠很好地突出學生的主體地位，調動學生的探索欲望和學習興趣，全方位、深層次地把數學建模的思想滲透到學生的數學學習中去，使學生始終處于樂于參與、主動參與、主動探索的積極狀態，不再成為只會死板的解題 “機器”，數學建模已經在數學觀、教學觀、學生觀等方面產生了深刻的影響，對于課程改革起著推動作用。數學建模中強調合作學習和團隊精神、推理的意識和習慣、獨立自主的解決問題能力等的培養，有利于學生掌握“學會做事”、“與他人共同生活”、思辨能力等，從而更好地適應未來社會對人才的要求。

參考文獻：

[1]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中科技大學出版社，2000：26.

[2]林夏水.數學哲學[M].北京：商務印書館，2003：3.