立體幾何問題平面化初探

姚永

摘要：把空間幾何問題平面化，由簡單問題深入，研究綜合問題（實際問題）所存在的一般規律，從

而培養學生的轉化問題和歸納的思維能力。

關鍵詞：平面化；轉化；能力

高中數學中的立體幾何問題，常常需要轉化為平面幾何問題，有時可以起到化繁為簡的

作用。下面，筆者就一個簡單問題，談談自己的思考。

問題1：如圖，在直三棱柱中，，，點D是AB的中點。

（1）求證：CD面ABB1A1；（2）求證AC1面CDB1；

（3）線段AB上是否存在點M，使得面CDB1。

分析：（1）一般地，線面垂直的證明問題都可轉化成線線垂直或面面垂直，本題有題設易知，故只需證明即可。

（2）線面平行的問題常常轉化為線線平行或面面平行，本

題思路一：考慮到點D為AB的中點，可以考慮連接，交于點F，連DF，只需證明。思路二：可以取的中點，連，問題轉化為證明面面即可。

（3）本題屬于探索性問題，可以假設存在點M，

由（1）知CD面ABB1A1，故只需AM DB1，從而問題

轉化為平面幾何問題，簡化了問題。

解析：（1）、（2）證明略.

（3）由分析可知，問題轉化為在矩形的邊AB

上找一點M，使得成立，

設AC=a，則AB=，，要使的，由平幾知識可知，故點M與點B重合。

總結1：線面垂直的探索性問題通過轉化，成為一道平面幾何問題，從而把問題簡化。

問題2：在棱長為的正方體中，

求面和面的距離。

分析：考慮到面和面的位置關系為平行，且

同時和直線垂直，從而可以把問題轉化為：求夾在兩

平行平面間的線段長度問題。

解析：連結，設線段與面和面的交點分別為點E、F，由于E、F都在平面中，如右

圖，由平幾知識可知，而，所以

。

總結2：立體幾何問題平面化，從而把平行平面所夾線段長度問題轉化為點與點之間的距離，突出了問題的本質，簡化了解題過程。

問題3：將一個半徑為5的水晶球放在如圖所示的工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成，它們兩兩成角。則水晶球的球心到支架P的距離是 .

分析：設球心為O，球與PA、PB、PC的交點分別為

A、B、C，則，由

于PA、PB、PC兩兩成角，所以，PA=PB=PC=AB

=AC=BC，從而，三棱錐P—ABC為正四面體，故點

P在面ABC上的射影為正三角形ABC的中心，又OA=OB=OC，所以球心O在面ABC上的射影也是正三角形ABC的中心，設三角形ABC的中心為點Q，則三點P、Q、O共線。這樣就可以把一個實際問題抽象為立體幾何問題，即

在空間組合體中，為正三棱錐，為正四面體，且

，如圖1，已知OA=5，求OP

考慮到，且點Q為三角形ABC的中心，問題可轉化為：

平面中，三角形OPA為直角三角形，角A為直角，AQ為PO

邊上的高，其中，AO=5，求OP的長。

通過這樣的轉化，使得很復雜的實際空間幾何問題轉化為簡

單的數學平面幾何問題，使得問題的難度大大的降低，簡解如下：

解析：設AP=a，OP=x，由于Q為三角形ABC的中心，所以

，再由等面積法可知

所以，球心到支架點P的距離為

總結3：一道復雜的立體幾何問題，通過兩次等價轉化，變成一道簡單的平面幾何問題，這就是轉化的魅力。

空間幾何問題轉化為平面幾何問題是解決立體幾何問題的常用方法，有利于激發學生對數學的學習興趣，培養學生的空間想象能力、運算能力和問題的轉化能力。如：問題3，經過這樣的分析和轉化，學生可以很快地掌握這一類問題的解法。當然，還可以把這個問題引申為更一般的情形：

將一個半徑為cm的水晶球放在工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成，它們兩兩成的角為，則水晶球的球心到支架P的距離是 .

（答案為）