從“曹沖稱象”中學(xué)習(xí)比較大小

趙廣樂

摘要：基于“曹沖稱象”的經(jīng)驗，比較離散量與連續(xù)量的區(qū)別，研究連續(xù)量比較大小的基本思路和方法。此法有助于高中學(xué)生迅速理解比較大小題目的實質(zhì)，為高中學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)推開一扇窗戶。

關(guān)鍵詞：曹沖稱象；離散量；連續(xù)量；比較大小

中國百姓家喻戶曉的歷史典故“曹沖稱象”， 出自西晉·陳壽·《三國志·卷二十魏書二十武文世王公傳第二十》：“鄧哀王沖，字倉舒。少聰，察岐嶷，生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權(quán)曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。太祖大悅，即施行焉。”

其大意是說：曹操的兒子曹沖長到五六歲的時候，知識和判斷能力所達(dá)到的程度，可以比得上成人。有一次，孫權(quán)送來了一頭巨象，曹操想知道這象的重量，詢問屬下，都不能說出稱象的辦法。曹沖說：“把象放到大船上，在水面所達(dá)到的地方做上記號，再讓船裝載其他東西（故事中常說是石頭）（當(dāng)水面也達(dá)到記號的時候），稱一下這些東西（石頭），那么比較一下（東西的總質(zhì)量差不多等于大象的質(zhì)量）就能知道了。”曹操聽了很高興，馬上照這個辦法做了。

“曹沖稱象”的故事，其實蘊(yùn)含著實用的生活經(jīng)驗和深刻的數(shù)學(xué)原理。

數(shù)（shù），起源于數(shù)（shǔ）；量（liàng），來源于量（liáng）。

量，大體上可以分為兩類：離散量和連續(xù)量。離散量，例如：蘋果、人、石頭等等，這類東西是一個個分離的、獨(dú)立存在的。離散量的比較，只需要數(shù)數(shù)其個數(shù)即可。連續(xù)量，例如：水、空氣等等，這些東西沒有接縫，是不可一個個分離的，故有“抽刀斷水水更流”之說。連續(xù)量的比較與測量，是比較困難的。例如：大象的重量就當(dāng)時的技術(shù)水平而言，是很難測量的。

我們先來看看另外一個例子：要比較兩根長短相差不大的棍子的長度，如下三種比較方式中，只有第三種是行之有效的。

（圖一） （圖二） （圖三）

第三種比較方法的關(guān)鍵，在于將連續(xù)量放在了一起，并且“對齊一頭”。雖然這是一個很簡單的生活常識，但這個常識，對于我們解決高中數(shù)學(xué)中的比較大小問題，是一個很好的啟示。

例1. 比較與的大小。

解：與大小的比較對于初學(xué)的學(xué)生不易一眼看出，此時，我們可以模仿剛才比較棍子長度的方法：“對齊一頭”。，而由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，即可知。

例2.比較與的大小。

解：根據(jù)“對齊一頭”的比較思路，，由對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，可知。

例3.比較與的大小。

解：根據(jù)“對齊一頭”的比較思路，，而由對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，可知。

在現(xiàn)實生活中，有些事物的比較，是不能像兩根木棍那樣放在一起并“對齊一頭”那樣簡單的。如：江蘇無錫靈山大佛的大拇指，與四川樂山大佛的大拇指是不能簡單比較哪個長的。這個時候，“曹沖稱象”的典故所蘊(yùn)含的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想，就可以給我們深刻的啟示了。

大象的體重，就當(dāng)時的技術(shù)水平，是很難測量的。而曹沖的聰明之處卻在于，他用可分開測量的石頭的重量，來代替不可分開測量的大象的體重，其實質(zhì)是用離散量來測量連續(xù)量，而所選取的離散量，是與連續(xù)量有共同測量標(biāo)準(zhǔn)的。

其實，在生活中還有很多這樣的例子。例如：貨幣的產(chǎn)生。在人類沒有貨幣的時候，交易都是物物交換進(jìn)行的，這是各種物品價值的直接比較，可是人們總是對自己所擁有的物品的價值估值較高，這樣的比較和交易是很麻煩的。于是，便出現(xiàn)了以貝殼、貴金屬等作為中間物的價值比較，就形成了貨幣。

又如：在生活中，如果家里的玻璃損壞了，請換玻璃的師傅來換玻璃。師傅一定不會抱著一整塊玻璃來家中比劃，然后在整塊玻璃上描繪出所需玻璃的大小，再裁玻璃。如果真有人這樣做了，裁下的玻璃恐怕也不能合適地安裝上去。事實上，裁玻璃的師傅一定會用一把尺子先量好所需玻璃的尺寸，再回去在整塊玻璃上裁下大小適宜的一塊玻璃。

不論是貨幣，還是量玻璃的尺子，它們都有一個共同的特點(diǎn)：就是可以與所比較的兩個事物都“對齊一頭”，有共同的價值尺度或測量標(biāo)準(zhǔn)。這就為我們解決數(shù)學(xué)中的比較大小問題提供了思路和經(jīng)驗。

例4.比較與的大小。

解：此例無法將所比較的兩個量“對齊一頭”，此時，我們可以借鑒“曹沖稱象”的經(jīng)驗，尋找如同貨幣、尺子之類的可以與所比較的兩個量都對齊的東西。考慮到，則有

，即解。

例5.比較與的大小。

解：仿照例4，，比較雙方均比1小，作為測量標(biāo)準(zhǔn)的1失效，此時，我們考慮：測量標(biāo)準(zhǔn)并非非1不可，關(guān)鍵是要能夠與比較雙方“對齊一頭”，根據(jù)這個思路，我們可以將的底數(shù)取出，將的指數(shù)取出，組成一個新數(shù)，這個新數(shù)是可以與比較雙方很好的“對齊一頭”的。由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，而由指數(shù)函數(shù)在第一象限“低大圖高”，可知，即。

綜上所述，比較大小題型的解題思路可以總結(jié)如下：1.比較雙方已然“對齊一頭”的，可以利用函數(shù)單調(diào)性直接比出大小；2.比較雙方?jīng)]有“對齊一頭”的，可以通過變形使其“對齊一頭”；3.比較雙方不能對其“對齊一頭”的，可以嘗試?yán)没蜃鳛橹虚g的測量標(biāo)準(zhǔn)；4.即使常見的測量標(biāo)準(zhǔn)或失效，我們也可以充分發(fā)揮主觀能動性，人為地做出合適的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測量。

數(shù)學(xué)，源于生活，又高于生活、用于生活。如果我們善于觀察生活中的常見現(xiàn)象，勤于思考其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，勇于用生活中的經(jīng)驗和智慧來分析數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那么數(shù)學(xué)將不再是一本難懂的天書，而是充滿了懸疑和智慧的“偵探小說”。

參考文獻(xiàn)：

[1]遠(yuǎn)山啟（日）.數(shù)學(xué)與生活[M].北京：人民郵電出版社，2010.