用Lagrange插值法實現溶解度曲線的繪制

趙榮紅

摘 要：根據拉格郎日（Lagrange）插值算法原理，運用Flash的ActionScript腳本語言，以現有實驗數據（或文獻數據）為依據，通過內插方式，增補中間數據，實現了常見物質的溶解度曲線繪制，使曲線更具平滑，消除了由于數據結點少而產生拆線的不足。

關鍵詞：Lagrange插值算法；溶解度曲線；ActionScript腳本語言

一、概述

初學化學教學中溶解度及溶解度曲線的知識，是讓學生理解和掌握溶液的概念和基本特征，認識溶解現象，了解物質的溶解過程以及溶液在生產、生活中的應用，了解飽和溶液和溶解度的概念、含義，了解溶解度曲線的意義。在教學課件的設計中，如何能更好地繪制出溶解度曲線使學生能更有效、直觀地去理解和掌握教學內容有著十分重要的意義。本文是通過運用一種常用的插值方法——拉格郎日（Lagrange）插值法，實現常見物質的溶解度曲線繪制。

二、基本原理

所謂“插值”，通俗地講就是在所給函數表中再“插入”一些需要的函數值。數據表中的函數值為已知的節點xi，稱為插值節點，插值節點上所給的函數值yi=f（xi）稱為樣本值，函數值待求點x，則稱為插值點。插值節點所界定的Δ=[minxi，maxxi]稱為插值區間。插值方法的設計原理是針對某個插值點x，用插值節點xi上的樣本值組合生成f（x）的近似值y即：

f（x）≈■λi f（xi） （1）

就是說，適當選取權系數λi，而取yi的組合值，即：

y=■λi yi （2）

作為插值結果。

用于插值計算的式（2）即稱為式（1）的插值公式。插值方法的目的在于尋求函數的近似值，自然要求所求出的插值結果能夠有足夠的精度。為保證所設計的插值公式f（x）具有“盡可能高”的精度，則可以用n階多項式表示。Lagrange插值方法的基本思想是：將待求的n次多項式的插值函數f（x）改寫成用已知函數值的系數的n+1個待定n次多項式的線性組合形式，再用插值條件和函數分解技術確定n+1個待定n次多項式，求出插值多項式。有如下形式的Lagrange插值基函數。

φi（x）=■■，i=0，1，2，...，n （3）

顯然基函數

φi（xi）=1

φi（xj）=0，j=0，1，...，i-1，i+1，...，n

因而將它們加以組合即得所求的插值公式

y=■yiφi（x）=■yi ■■ （4）

這種形式的插值公式稱為Lagrange插值公式。

三、插值實現

1.常見物質的溶解度

通過查閱資料可獲取各種物質的溶解度，表1列出了幾種常見物質的溶解度值。

注：？葚表示為用Lagrange方法計算的值。

2.實現方法

根據（4）式，我們用Flash動畫設計軟件的ActionScript 3定義了一個類Lagrange，通過該類的一個方法LagrangeInsert（ ）完成給定插入點x的函數值計算。（如下代碼所示）

public class Lagrange

{

public function LagrangeInsert（xx：Number，leng：int，arr1：Array，arr2：Array）：Number

{

var yy：Number = 0；

var i：int；

var j：int；

var l：Number；

for （i=0； i

{

l = 1；

for （j=0； j

{

if （i ！= j）

{

l *= （xx-arr1[j]）/（arr1[i]-arr1[j]）；

}

}

yy += arr2[i] * l；

}

return yy；

}

}

說明：在上述方法中，xx表示插入點橫坐標（即任意溫度值），leng表示物質溶解度測定值（或參考文獻值的結點數），一般來講可能是11個結點值（從0到100，每10度一個測定值），arr1和arr2分別表示溫度和對應溶解度測定值（或參考文獻值）。任意給定一個溫度值（xx），就可計算并返回一個溶解度值（yy表示）（即插入值）。根據需要，通過循環方法可以計算出多個插入值，然后將這些值通過繪制線段的方法繪制出來，即可形成一條平滑的曲線，避免了出現折線形式。如我們計算NH4HCO3的20個溶解度值：

表2 Lagrange插值法計算所得溶解度值

■

NH4HCO3的溶解度曲線為如下圖所示：

■

四、結論

運用該方法，實現了常見物質的溶解度曲線繪制，使曲線更具平滑，對完成這類曲線繪制具有一定的幫助作用，對制作更為精確、漂亮的教學課件有很好的借鑒意義。

參考文獻：

王能超.計算方法簡明教程.北京：高等教育出版社，2004-01.

（作者單位 陜西省咸陽渭城二初中）