淺談等差數列的靈活應用

潘麗平

等差數列是一種特殊的數列，它在高中數學中占據著重要地位.等差數列揭示了數列中任意連續兩項的特殊性.項與項之間的特殊關系是它的突出特點，也是靈活應用的基礎.筆者，從等差數列項與項的關系，闡述它的靈活應用.

一、等差數列中任意兩項的關系

等差數列{an}中首項為a1，公差為d，則其通項公式為an=a1+（n-1）d.

即已知首項與公差，可以求出數列中的任一項.而在實際應用中常會遇到這樣的類型題：

例1.已知等差數列{an}中，a3=4，公差d=2，求a7.

析：按常規做法必須先由a3=a1+2d求出a1，再代入通項公式求出a7；而若將已知條件a3=a1+2d與所求對象a7=a1+6d加以比較，不難發現a7=a3+（7-3）d.這樣就可以一步到位，且又快又準.

由此可以將等差數列通項公式an=a1+（n-1）d.推廣為an=am+（n-m）d.

即等差數列中任意兩項的差是其對應序號差的公差倍.它彌補了通項公式的小小不足，在應用上起到了靈活、簡便的作用.

二、等差數列中特殊三項的關系

一方面是等差數列中任意連續的三項成等差數列，另一方面是等差數列中若其中兩項關于某一項成位置對稱，則這三項成等差數列.這兩方面可歸納為：

在等差數列{an}中，若m+n=2p，其中m，n，p∈N*，則am+an=2ap；即在等差數列中，若三項對應的序號成等差數列，則其對應的三項成等差數列.

在應用時只需觀察項的序號關系，就可以很快知道項之間的關系.簡便易行，容易靈活操作.

例2.在等差數列{an}中，a1+a9=10，求a5的值.

析：由2a5=a1+a9可很快求出a5=10.

例3.在等差數列{an}中a5=10，求S9.

析：S9=■=9a5=90.

三、等差數列中特殊四項的關系

在等差數列{an}中，若m+n=p+q其中m，n，p∈N*，則am+an=ap+aq；即……