淺談等差數(shù)列的靈活應(yīng)用

潘麗平

等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列，它在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位.等差數(shù)列揭示了數(shù)列中任意連續(xù)兩項(xiàng)的特殊性.項(xiàng)與項(xiàng)之間的特殊關(guān)系是它的突出特點(diǎn)，也是靈活應(yīng)用的基礎(chǔ).筆者，從等差數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，闡述它的靈活應(yīng)用.

一、等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系

等差數(shù)列{an}中首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d.

即已知首項(xiàng)與公差，可以求出數(shù)列中的任一項(xiàng).而在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)遇到這樣的類(lèi)型題：

例1.已知等差數(shù)列{an}中，a3=4，公差d=2，求a7.

析：按常規(guī)做法必須先由a3=a1+2d求出a1，再代入通項(xiàng)公式求出a7；而若將已知條件a3=a1+2d與所求對(duì)象a7=a1+6d加以比較，不難發(fā)現(xiàn)a7=a3+（7-3）d.這樣就可以一步到位，且又快又準(zhǔn).

由此可以將等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d.推廣為an=am+（n-m）d.

即等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的差是其對(duì)應(yīng)序號(hào)差的公差倍.它彌補(bǔ)了通項(xiàng)公式的小小不足，在應(yīng)用上起到了靈活、簡(jiǎn)便的作用.

二、等差數(shù)列中特殊三項(xiàng)的關(guān)系

一方面是等差數(shù)列中任意連續(xù)的三項(xiàng)成等差數(shù)列，另一方面是等差數(shù)列中若其中兩項(xiàng)關(guān)于某一項(xiàng)成位置對(duì)稱(chēng)，則這三項(xiàng)成等差數(shù)列.這兩方面可歸納為：

在等差數(shù)列{an}中，若m+n=2p，其中m，n，p∈N*，則am+an=2ap；即在等差數(shù)列中，若三項(xiàng)對(duì)應(yīng)的序號(hào)成等差數(shù)列，則其對(duì)應(yīng)的三項(xiàng)成等差數(shù)列.

在應(yīng)用時(shí)只需觀(guān)察項(xiàng)的序號(hào)關(guān)系，就可以很快知道項(xiàng)之間的關(guān)系.簡(jiǎn)便易行，容易靈活操作.

例2.在等差數(shù)列{an}中，a1+a9=10，求a5的值.

析：由2a5=a1+a9可很快求出a5=10.

例3.在等差數(shù)列{an}中a5=10，求S9.

析：S9=■=9a5=90.

三、等差數(shù)列中特殊四項(xiàng)的關(guān)系

在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q其中m，n，p∈N*，則am+an=ap+aq；即在等差數(shù)列中，若其中兩項(xiàng)的序號(hào)和等于另外兩項(xiàng)的序號(hào)和，則這兩項(xiàng)的和等于另外兩項(xiàng)的和.

例4.已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，又a4=1，求a12的值.

析：由a4+a12=a7+a9可得a12=15.

例5.在等差數(shù)列{an}中，S10=100，S100=10，求S110 .

析：由S100-S10=a11+a12+…+a100

=■=45（a11+a100）

可得a11+a100=-2；而a1+a110=a11+a100，所以S110=■=-110

利用等差數(shù)列四項(xiàng)的特殊關(guān)系解答，省去很多不必要的計(jì)算.比起常規(guī)的做法先求首項(xiàng)a1和公差d，再求S110要方便得多.

總之，只要學(xué)生能夠牢固掌握等差數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，就能靈活解決等差數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題.

（作者單位 西藏自治區(qū)山南地區(qū)第二高級(jí)中學(xué)）