中考前數學考點專題解析

李艷芹

一般地，解析式形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的函數叫做一次函數，x是自變量，y為因變量.一次函數的定義域是一切實數.

特別地，當b=0時，一次函數就成為y=kx （k是常數，k≠0），這時y是x的正比例函數.因此正比例函數是一次函數的特殊情形.

對于y=c（c為常數）表示不論x的值怎樣變化，y的值總是常數c，我們仍認為y與x之間沒有確定的依賴關系，這時把函數y=c（c為常數）叫做常值函數，其自變量由所討論的問題確定.

例1.（2012濟南）當m為何值時，函數y=-（m-2）xm -3+（m-4）是一次函數？

分析：某函數是一次函數，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0.

解：∵原函數是一次函數，則

m2-3=1

-（m-2）≠0

解得m=-2.

∴當m=-2時，原函數是一次函數.

小結：某函數是一次函數應滿足的條件是：一次項（或自變量）的指數為1，系數不為0.而某函數若是正比例函數，則還需添加一個條件：常數項為0.

考點二：一次函數的圖象與性質

一般地，一次函數y=kx+b（k、b是常數，且k≠0）的圖象是一條直線，一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b，這時，把一次函數的解析式y=kx+b稱為這一直線的表達式.正比例函數的圖象也是一條直線.

例2.（2012南京）看圖說故事.

請你寫一個故事，使故事情景中出現一對變量x、y滿足圖示的函數關系，要求：①指出變量x、y的含義；②利用圖象中的數據說明這對變量變化過程的實際意義，其中須涉及“速度”這個量.

解析：根據情景說明函數關系，注意只有兩變量，涉及其他的量必須是常量.

答案：①略.

②如：公共汽車從A站出發，5分鐘內速度由0逐漸增加到2m/s，然后勻速運動，到11分鐘時開始減速，第15分鐘停靠B站.

點評：此類題目屬于開放性問題，答案不唯一，考察學生知識應用的情況.

考點三：一次函數解析式的確定

由于一次函數y=kx+b（k≠0）中有兩個待定系數k、b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k、b的方程，求得k、b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x、y的值.用待定系數法確定函數解析式的一般步驟為：

（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；

（3）解方程得出未知系數的值；

（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.

例3.（2012山東）已知一次函數y=kx+b圖象經過點（-2，5）并且與y軸相交于點P，直線y=-1 2x+3與y軸相交于點Q，點Q與點P關于x軸對稱，求這個一次函數的解析式.

分析：直線與y軸相交，其交點Q的橫坐標為0，求出交點坐標.再利用對稱性求出點P的坐標，根據點（-2，5）和點P在直線上，其點的坐標符合其函數解析式，列方程組求解.

解：∵直線y=-1 2 x+3與y軸的交點Q的坐標為（0，3），

又∵點P與點Q關于x軸對稱，

∴點P的坐標為（0，-3），把點（-2，5）和點（0，-3）代入y=kx+b得

∴這個函數解析式為y=-4x-3.

考點四：一次函數的實際應用

例4.（2013山東）有一個附有進水管、出水管的水池，每單位時間內進出水管的進、出水量都是一定的，設從某時刻開始，4h內只進水不出水，在隨后的時間內不進水只出水，得到的時間x（h）與水量y（m3）之間的關系圖（如圖）.

回答下列問題：

（1）進水管4h共進水多少？每小時進水多少？（2）當0≤x≤4時，y與x有何關系？（3）當x=9時，水池中的水量是多少？（4）若4h后，只放水不進水，那么多少小時可將水池中的水放完？

分析：在本題中橫坐標的意義是進出水的時間，縱坐標表示水池中的水量，從圖象看0≤x≤4時，y是x的正比例函數關系；x>4時，y是x的一次函數關系.

解：（1）由圖象知，4h共進水20m3，所以每小時進水量為5m3.

（2）由于0≤x≤4時，y是正比例函數，設y=kx，由于其圖象過點（4，20），所以20=4k，k=5，即y=5x（0≤x≤4）.

（3）由圖象可知：當x=9時y=10，即水池中的水量為10m3.

（4）由于x≥4時，圖象是一條直線，所以y與x符合一次函數關系，設y=kx+b，

由圖象可知，該直線過點（4，20）、（9，10）.

考點五：二次函數的有關概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數.

（1）求m的值；

（2）求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和頂點C的坐標；

（3）問在拋物線上是否存在一點M，使△MAC≌△OAC，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：拋物線與x軸交于A、B兩點，OA=OB，故A、B兩點關于y軸對稱，就可求得m的值，由拋物線交y軸的正半軸，得m的確定值.

解答：（1）∵拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB.

∴M（2，2）不在拋物線上，即不存在一點M，使△MAC≌△OAC.

點評：存在性問題，通常是先假定存在，若能找出具備某種條件或性質的對象就說明存在，其敘述過程就是理由；若不存在，就需要進一步說明理由.