趣味特征數

蔡榮榮

未來學家們滿懷信心地預測：2020年人類將徹底戰勝癌癥；月球上將建成永久性的居民點……可見，2020年是充滿希望的年份，不僅如此，它還是個非常有意思的彭羅斯特征數。

什么是彭羅斯特征數？

如果一個數的首位數字表示這個數中零的個數，第二、三、四位數字分別表示這個數中1的個數、2的個數與3的個數，這個數就叫特征數。

由于它是由20世紀赫赫有名的數學家、英國皇家協會會員、牛津大學教授羅迦·彭羅斯提出來的，所以也叫彭羅斯特征數。

比如，1210就是一個特征數。首位數字1表示它有1個0，第二位數2表示它有2個1，第三位數1表示有1個2，第四位數0表示有0個3。

很顯然，2020的首個數字2表示它有2個0，而第二、三、四位數分別表示了這個數中1的個數為0、2的個數為2，3的個數為0，所以它也是一個特征數。

有趣的是，彭羅斯在提出這種特征數時，又連珠炮似的向人們提出了一系列與特征數有關的問題：這種特征數中最小的數是多少，最大的又是多少？各個位數的特征數是不是都存在，比如特征數是不是有六位數的？所有這種特征數的和是多少？

提完問題后，他在一張紙上寫出了最后一題的答案，并將這張紙條放在一個錦囊中，吩咐別人暫時把它封存，然后，不作任何提示，飄然而去。

彭羅斯的問題引起了數學家和數學愛好者的深厚興趣。經過多年的研究探索，人們發現一位、二位、三位和六位數的彭羅斯特征數不存在，四位數彭羅斯特征數只有1210和2020，因此1210是最小的特征數。

由于9是最大的一位數，因此，我們不難發現彭羅斯特征數家庭中最年長的成員應該是9210000001000這個十三位數。依此類推，可以得到其他位數的彭羅斯特征數，一共有這幾個數：

十三位數是9210000001000，十二位數是821000001000，十一位數是72100001000，十位數是6210001000，九位數是521001000，八位數是42101000，七位數是3211000，5位數是21200，4位數有2020和1210。

人們將找到的全部彭羅斯特征數統統加起來，得到和為10109876341430。

他們迫不急待地打開彭羅斯的那只錦囊，發現答案與得到的結果毫厘不差，真所謂英雄所見略同，感慨之余，對彭羅斯也充滿了深深的欽佩和敬意。