趣談“2013”的冪和表示

曾志廉 肖卿燦

摘 要：討論了“2013”的冪和表示方法。

關鍵詞：冪和；表示法；質數

熟知2013=64+54+43+33+13=64+54+24+33+72=74-54+44-33+23，觀察前面式子，我們發現表達式中各數字互不相同，數字范圍1～7，如果要求表達式中的數小于6大于2，指數小于5大于等于2，結果又會如何。

能否把2013表示成a1x1+a2x2+…+amxm-b1y1-b2y2-…-bnyn的形式？如果可以，這種表示方式是否有無限多個？其中，m、n均為大于100且小于170的正整數，且m-n≥50；a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn均為兩兩不相等的小于6的正有理數，且a1

下面我們對此問題進行討論，熟知，x2+y2=z2有無窮多組正整數解，

（x，y，z）=（a2-b2，2ab，a2+b2），

故m2+n2-1=0有無窮多組分數解，

（m，n）=■-■

而32+42=52，故當質數p>5時，

■2+■2-■2=0

因為2013=■4+■4+■4+■■2+■■2+■2-■4-■2-■4-■■2+■2-■■2

pi>5，pi為負數，pi互不相等，由于質數有無窮多個，故2013的表示法也有無窮多種。上述表示法顯然滿足ai+12-b12，ai+22b-22，…ai+n2-bn2（i=0，1，2，…，m-n）互不相等的條件。

作者簡介：

曾志廉：男，碩士，廣州大學，實驗師。

肖卿燦：男，學士，廣州大學，高級實驗師。