數形結合在提高高職學生數學素養方面的探究

楊 宏

摘 要：數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使解題簡捷高效，且開拓解題思路。運用數形結合思想，引導學生發散思維，提高他們的創新思維和能力，為以后進入社會靈活地處理問題打下基礎。

關鍵詞：數形結合；數學素養；職業生涯

數學中“數”與“形”的矛盾統一是數學發展中的一條主線，使數學在實踐中應用更加廣泛和深遠。一方面，借助于圖形的性質將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，可以獲得準確的結論。“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使解題簡捷高效，還開拓了解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要途徑。數形結合是一種效率高的解題方法，更作為一種重要的數學思想，深刻影響學生職業生涯。

一、利用數形結合引導學生理解數學概念完整化、定理精確化

高職數學中的許多概念都是利用抽象的數學語言給予形式化的精確描述，由于這種描述高度抽象，初學者很難理解它的含意，特別是對高職學生來說，他們的數學基礎差，對數學有恐懼感，不喜歡數學，在這種情況下對數學概念不加理解地死記硬背，很難掌握應用。在教學中可利用數形結合來引導學生，以加深對基本概念的理解。

函數有界性的定義是最難被學生理解的，如果淡化文字描述，而采用圖形展示更易理解。有界性的定義是：當X∈I，存在正常數M，使得≤M，那么則稱f（x）在區間I上有界；如果這樣的M不存在，則稱f（x）在區間I上無界。利用數形結合法來理解主要是借助它的幾何意義。有界性的幾何意義是：存在兩條水平的直線y=c，y=d使得f（x）在區間I上有界；反之，如果這樣的水平直線不存在則無界。如圖所示：

圖1.函數的有界性 圖2.極值的充分條件

高職數學中有些重要定理也比較抽象，例如，函數的極值及其求法是高職數學中的重要內容，即極值的第一充分條件：設函數f（x）在x0處連續，且在x0的某去心領域U（x0，δ）內可導。

（1）若x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）>0，而x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x）>0，則f（x）在x0處取得極大值。

（2）若x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）<0，而x∈（x0，x0+δ）時，f ′（x0）>0， f（x）在x0處取得極小值。

（3）若x∈U（x0，δ）時，f ′（x）的符號保持不變，則f（x）在x0處沒有極值。

只根據定理本身理解且掌握并不容易，這時數形結合的思想的重要性就體現出來了。我們可以根據定理將f（x）的圖象畫出，對極值的第一充分條件獲得準確而深入的理解，在（1）中，當x∈（x0-δ，x0）時，f ′（x0）>0，由函數的導數與單調性的關系可知f（x）在區間 （x0-δ，x0）上單調遞減，同理在（x0，x0+δ）上單調遞增，由此我們畫出 大致的圖象，根據函數圖象，可以對這一定理有直觀的理解。在x0的領域U內的任一x有f（x）

可見運用數形結合的思想，引導學生觀察、分析、抽象概括得出結論，不僅加深了學生對定理的理解，而且讓學生體驗到數學思想的奧妙無窮、探索的神奇和發現的喜悅，這極大地提高學生學習數學的興趣，同時也會潛移默化地提高學生的數學素質和創造能力。

二、利用數形結合引導學生巧妙解題

在數學解題過程中，有些問題只考慮數或形，雖然能解決，但有時過于繁雜，甚至很困難。若根據問題的條件與結論，既分析其代數式的含義，又考慮其幾何意義，使數量關系與空間形式巧妙而和諧的結合起來，充分利用這種結合，尋求解題方法，便能使學生容易下手，提高解題效率。

例1：判斷函數y=1gx與函數y=sinx交點個數

分析：本題無法通過求解值得到答案。但如果利用數形結合，在同一個坐標系中作出函數y=1gx與y=sinx的圖象，從圖中很清楚地發現有3個交點。如圖所示：

圖3.圖形解題一 圖4.圖形結合解題二

例2：求函數f（x）=當x→0時，f（x）的極限？

分析：由題意得：f（x）的左極限為：==1

f（x）的右極限為：==1

≠，所以x→0時，f（x）的極限不存在。

若根據函數圖象，很容易發現f（x）沒有極限。

從以上例子可以發現在數學解題中，利用數形結合可以簡化解題步驟，降低解題難度。根據數量的結構特征，構造出相應的幾何圖形，化為幾何問題，可以使那些抽象的概念、復雜的數量關系變得直觀，更便于學生探求解題思路或找到問題的結論。

三、利用數形結合引導學生職業生涯成長

從上面各種數形結合的舉例中我們可以看出，充分抓住數與形的內在聯系去探索問題，可以加深對問題內涵的理解。使抽象、復雜的數學問題變得形象、直觀，能夠化繁為簡，降低解題難度，對提高學生分析問題和解決問題的能力很有幫助。數形結合的思想需要滲透在學習新知識和運用已學知識解決問題的過程之中。努力提高高職數學的教學質量，為高職學生提供長遠發展所必需的、夠用的數學基礎知識，為他們學好專業知識鋪平道路、打下基礎。作為援藏舉措，我校開設了相關專業的西藏班級，這些學生的漢語基礎不太好，對數學概念的理解不徹底。針對這些學生的特點，借助數形結合的方法，引導他們接受數學，慢慢學習數學知識。根據教學內容綜合運用多種教學手段，改革教學方式，來培養學生的思維能力、創新能力。引導學生立足職業生涯進行更深層次的思考，讓學生輕松有趣地學、目的明確地學，為以后的工作生活打下基礎。

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