在課堂上展現數學知識的形成與應用過程

張耀滿

《數學課程標準》指出：數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理的證明，數學模型可以有效地描述自然現象；義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更要遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生在獲得對數學理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到發展。本文就初中階段數學建模思想滲透及數學建模過程、類型進行討論。

一

建立數學模型是數學知識及數學方法的綜合體現，是將現實領域中的實在問題加以提煉，經過抽象簡化，明確變量和參數，并據探求變量各參數間的數學關系，從而將現實問題抽象為數學模型，再求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該模型所提供的解答思路解決現實問題。初中階段數學建模類型主要有方程模型、不等式模型、幾何模型、三角模型、直角坐標系模型、建立目標函數模型等。

數學模型的建立可從以下幾個方面著手：①建模準備工作：充分了解所要建模的現實問題的實際背景，明確建模的實際意義和目的，深入細致調查，并用數學語言描述這一現象的現實問題。②對模型進行簡化推理設想：根據所研究現實對象的本質特征和建模的目的性，對現實問題進行必要的簡化，并做出大膽推理假設，注意假設應該符合本現實現象的實際背景。③對現實現象進行模型的建立：在推理假設的基礎上，利用數學工具刻畫各現實變量之間的數學關系，從而建立數學結構。④對所建立的模型求解：根據調查掌握的數據資料，利用已掌握的數學知識求解，也可以利用計算機對所給參數做出估算，求解有時還包括畫圖、列表。⑤對所建立的模型進行分析：對所得的解進行數學上的分析比較、討論，如算法的科學性，精度影響等。根據計算結果對問題作出全方位解答。以此驗證模型的準確性、合理性和適應性，若模型與實際相差太遠，則應修改假設，再次建模。⑥對所建立的模型進行應用：把所得到的數學模型應用到現實問題中，應用方式因問題的性質和建模的目的而不同。

二

初中階段對數學模型的建立有多種不同的類型，依照不同的現實問題可分為以下幾種。

1.建立方程模型：對現實生活中廣泛存在的等量關系，如增長率、儲蓄利息、濃度配比、工程施工、人員調配、行程等問題，可列方程轉化為方程求解問題。

例1：個人出版圖書獲得稿費的納稅計算辦法是：稿費不高于800元的不納稅，高于800元但不高于4000元的應繳納超過800元的那一部分稿費的14%的稅；高于4000元的應繳納全部稿費的11%的稅。

①若某人獲得一筆稿費后，繳納462元的稅，則這筆稿費是多少？

②若繳稅為280元，這筆稿費是多少？

簡析：本題可就稿費的數額與對應的稅率建立表格體現它們的關系，再從中找出相等關系，建立方程求解。

2.建立不等式模型：在市場經營、生產決策和社會生活中，如估計生產數量，核定價格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，可挖掘實際問題中隱含的數量關系，轉化為不等式（組）的求解或目標函數在閉區間的最值問題。

6.建立目標函數模型：對于現實生活中普遍存在的最優化問題，如造價用料最少、利潤產出最大等，可通過實際背景，建立變量之間的目標函數，轉化為函數極值問題。

另外，數學建模的類型應以創新性、現實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，使學生在解決現實問題的全過程中得到學數學、做數學、用數學的實際體驗，親身體會到數學探索的愉悅。