微積分在概率論中的應用

陳紅燕 鄧臻

摘 要：針對概率論為微積分的后續課程這樣一個教學實際，分析兩門課程之間的關系，研究微積分對概率論的滲透作用，通過實例等方法說明了微積分在概率論中的幾點應用。

關鍵詞：集合 函數 隨機變量 分布函數 積分 微分

中圖分類號：TS1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（a）-0242-02

微積分與概率論是兩門非常重要的數學學科，均是高等學校理工專業的必修課程，為后續專業課提供必要的數學工具。雖然兩者發展路徑不太一樣，但兩者間確有著密切的關系，可以說微積分是概率論的地基，概率論是微積分的延續，大學課程里也是先開設微積分，后開設概率論，所以進一步揭示微積分在概率論中的滲透，并將微積分的思想與方法巧妙的應用到概率論的中去，是我們值得關注的問題，本文將從幾個方面闡述微積分在概率論中的應用。

1 集合在概率論中的應用

勒貝格積分建立了測度論與集合論之間的關系，從而有了概率論，而集合論與微積分之間是源和流的關系，可以說是微積分加速推動了概率論的形成。

概率論的主要研究對象是隨機試驗，隨機試驗的結果不唯一，把其所有結果組合在一起就構成了一個集合，也就是樣本空間，我們關注的隨機事件便成了這個集合的子集，本質上還是集合，后面便順理成章的用集合間的關系與運算來處理事件間的關系與運算，早期數學家們研究的古典概型也是有限集合的應用，集合論的滲透使得概率論得到了突飛猛進的發展。

2 函數在概率論中的作用

概率論中無處不滲透著微積分中的函數思想。

（1）隨機事件。是一個集合，事件發生的概率就是定義在事件集上的一個集函數。

（2）隨機變量是定義在樣本空間上的一個集函數，是概率論最重要的概念之一，它實現了從樣本空間到實數的一個過渡，從某種程度上結束了概率的古典概型時代，把概率論推上了更加寬廣的道路。

（3）為一個隨機變量，為一個實數，函數稱為的分布函數，此函數也是概率論的又一重要概念，它描述了的取值規律性，并且具有非常好的函數性質：單調有界、可積、幾乎處處連續、幾乎處處可導等，因此微積分中的很多函數方法便可以順利的進入概率論領域，此外連續型隨機變量的概率密度也是概率論引入的另一重要函數。

概率，隨機變量，分布函數與概率密度都是函數，在這些對應關系下，概率論的研究道路越走越順暢，這也是微積分對概率論起到的至關重要的作用。

3 積分、微分在概率論中的作用

連續型隨機變量最大的亮點就是引入了概率密度函數，建立了概率與的關系，此關系的也可用分布函數與同時來表示：，在的連續點上，對上述表達式求導，即得：。

因此，概率論中連續型隨機變量的相關問題從某種程度上轉為了微積分問題，比如，連續型隨機變量的概率，數學期望，方差等定義及其計算全部用微積分解決。

4 微積分的計算方法在概率論中的作用

概率論的很多問題均轉化為微積分問題，所以一些微積分計算方法便在概率論中得到了應用，現舉例說明。

例1：設服從參數為的poisson分布，求其數學期望。

解：法一 利用微積分中特殊函數的展開式。

5 微積分在概率論中的其它一些應用

（1）分布函數的性質： 看似兩個簡單的結論，其實嚴格證明還得用到微積分的極限問題；概率論中的大數定律與中心極限定理用到的也是微積分中的極限。

（2）概率論中多維連續型隨機變量的函數的概率分布是一個難點，但引入合適的雅可比行列式可以將復雜的問題簡單化。

（3）微積分中的一些特殊函數在概率論中也有著廣泛應用，如函數，借用它，我們定義了概率論中的兩個重要分布：分布與分布。

微積分有著幾百年的歷史，已經非常完善，也許這也是為什么數學家們用微積分解決概率論問題的原因之一，微積分確實推動了概率論這門學科的快速發展。反之，概率論的很多思想也可以用于解決復雜的微積分問題，希望我們可以發現更多的方法，用于兩者的共同發展。

參考文獻

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