如何引導學生抓住高中數學解題方法的關鍵

趙改靜

高中數學課堂教學一般是圍繞例題展開的，學生聽例題講解是一聽就會，但到自己接觸數學題時，卻是一做就差，甚至是無從下手。究其原因，這是沒有抓住解題方法的關鍵。因而中學數學的首要任務是培養學生具備解決問題的才智、獨特見解及創造精神，把“解題”作為培養數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。對于數學題，其求解過程可總結為以下四個階段：①必須弄清問題，清楚地看到要求的是什么？②必須了解各個項之間有何聯系？未知數與已知條件之間有什么關系？③實現所制定的計劃，④回顧能完成的解答，對它進行檢驗和反思。上述每一個階段都有其重要性，下面通過實例對每一個階段進行具體的分析。

第一階段：弄清問題。回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的，首先必須了解問題的文字敘述，教師在某種程度上可檢查學生這一點，同時不要錯過這樣的問題：未知數是什么？已知條件是什么？求什么？滿足條件是否可能？

例1 若x、y、z∈R，且x+y+z=1，求證：x2+y2+z2≥13

要證明這一道題目，要求做題者必須掌握證明不等式的方法與技巧，明確要證的結論是什么？已知條件是什么？條件與結論之間有何關系？此題的已知條件是三個實數的和為1，根據此條件要證明它們的平方和不小于13。

第二階段：擬定計劃。我們知道，求解一個問題的主要成績是構想出一個解題計劃的思路，看著未知數，試想起一個具有相同或相似未知數的熟悉問題來，你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？你能否利用它？為了解利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？因而我們需要擬定一個計劃。

例2 繼續考察例1

例1中需證的不等式，左邊是條件中三個實數的平方和，因此對此不等式的證明，一般地，我們的做法是先對條件等式兩邊平方。對x+y+z=1兩邊平方得：x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

觀察平方后的等式：此式中已經得到待證式左邊的式子x2+y2+z2，而其余三個式子2xy，2xz，2yz可通重要不等式的變形2ab≤a2+b2進一步轉化為含有x2、y2、z2的式子，于是平方后等式左邊的式子全都可轉化為x2、y2、z2之間的關系式，從而可使不等式得到證明，此時計劃已擬定。

第三階段：實現計劃。想出一個計劃，產生一個求解念頭是不容易的，要成功，需要有許多條件，比如：已有的知識，良好的思維習慣，目標集中，還要有好運氣。但實現計劃則容易得多，我們需要的主要是耐心地處理好計劃中的每一個細節。

例3 我們繼續考察例2

x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1

而2xy≤x2+y2，2xz≤x2+z2，2yz≤y2+z2，∵x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤3（x2+y2+z2）即3（x2+y2+z2）≥1∴x2+y2+z2≥13

這樣就實現了我們的求解計劃。

第四階段：回顧、反思。這一階段是我們最缺乏的，即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且干凈利落的寫下結論后，通常就會合上書本，找點別的事來干。對于這一階段，很多做題者都容易忽略，其實通過回顧能完成的解答，可鞏固基礎知識和發展解題思維。

例4 中央電視臺創辦“城市之間”欄目以增進各國交流，本期有倫敦、上海等10個不同國家的城市報名參賽，需將10個城市分成兩組，每組5個城市，且每組前兩名晉級總決賽，求倫敦、上海分在同一組的概率.

分析：

第一階段：弄清問題。1、已知條件：10個隊平均分成2組進行比賽；2、待求結論：倫敦、上海分在同一組的概率；

第二階段：擬定計劃。先用排列組合知識求出10支隊伍平均分成兩組的分法及倫敦、上海分在同一組的分法，再利用等可能性事件概率公式求解。

第三階段：.回顧、反思。對于分組問題，不同理解，就有不同的分法，因而也就有不同解法。上面的解法是平均分組，因而這兩個組是沒有順序的。

上述幾種解法各有千秋，由于對試驗的具體解法不同，可取不同的等可能性事件集，解法四把分組問題巧妙轉化為排座位問題，在觀形象、簡潔明快，抓住了問題的本質。

解題主要有以上三個階段，當然并不是解每一道題都必須恪守這四個階段，但若能在解題中作好每一階段的分析、探索，就必定能在解題方面有所作為，有所感悟！