高中物理中變力做功問題的積分解法

鄧希文

摘 要： 本文運用定積分的方法對高中物理中變動做功的三種常見問題：水池抽水做功問題、彈簧壓縮或伸長做功問題、氣體壓縮或膨脹做功問題進行了分析與求解，并對解題方法進行了推廣，希望能為此類問題的解決提供相應參考。

關鍵詞： 高中物理教學 變力 做功 定積分

一、引言

在高中物理中，有時會碰到一些變力做功的問題，這些問題通常不能按一般的恒力做功的方法進行求解，但可以利用微積分法巧妙地進行解決。

用積分解決物理問題，一般都要先建立適當的坐標系。如下圖1所示，設有方向指向ox軸正方向的變力f（x），當某物體在該力作用下從點x+△x移動到點時，可以認為力所做的功為△w≈f（x）△x，當把△x看做無窮小量時dx時，就得到功的微分形式為dw=f（x）dx，而物體在變力作用f（x）下，從點a移動到點b時，變力f（x）所做的功可以表示為：

二、變力做功的幾種情況

（一）水池抽水做功問題

這類問題常常容易犯錯，很多人常用恒力做功的方法分析，即用水的重力與水深之積求所做之功。但仔細分析，這種方法明顯是錯誤的，如果我們將水垂直分成為很多微分層，則每個微分層的水移動的距離應該是不相等的，因此不能采用常用的恒力做功的方法進行計算，但可以采用微分法進行計算。下面講一個簡單的例子。

要把其抽到蓄水池口所做的功可表示為：

因此，根據積分公式，將蓄水池中30米深的水全部抽出池口需要做的總功為：

因此，對于這類問題，我們不能按常用恒力做功方式進行求解，必須換一種方式，利用微分方法求解較簡便。同時，我們可以將此類問題進一步推廣到求水中取物所做的功，其原理基本類似，方法類似。

（二）彈簧壓縮或伸長做功問題

彈簧在壓縮或伸長的過程中，其彈力會連續不斷地變化，因此，如何求彈簧壓縮或伸長所做的功，這就需要用到變力做功的積分法？

例2：如果10N（牛）的力可以使彈簧伸長20cm，求在彈性范圍內使該彈簧伸長30cm所要做的功是多少？

我們可以進一步推廣，在彈性范圍內，彈簧從平衡位置壓縮或拉伸a長（單位：m）所需要做的功為：

另外，我們還可以將此類問題推廣到非均勻電場做功的計算，即求變電場對處在其中的帶電粒子移動距離所做的功。其公式可以總結如下：

（1）假設在一帶電量為+Q的點電荷（選其坐標為ox軸原點）的電場中有一點電荷+q在該電場中從坐標a處移動到b處。其電場所做的功可以表示為：

（2）若將上述點電荷+q從坐標a處移動到無窮遠處，則其電場所做的功可以表示為：

（三）氣體壓縮或膨脹做功問題

封閉容器（或氣缸）中的氣體膨脹或壓縮時，隨著氣體壓強的連續變化，從而使得作用在活塞上的壓力也必將不斷變化，為了平衡活塞，在壓縮氣體時要一個外加壓力推動活塞對容器（或氣缸）內氣體做功，或在氣體膨脹時將推動活塞來做功，那么，如何求所做的功呢？這是一個典型的變動做功的問題，我們可以借助積分法進行求解。

解：在正圓柱氣缸的氣體（見圖3），根據波義耳定律，若溫度不變時，則PV=C（常數），P表示壓強，V表示缸內氣體體積，由題意得：

設正圓柱氣缸內的蒸汽被壓縮的長度表示為x（m），那么

因此，要使蒸汽的體積減小一半，需要做的功為：

我們可以進一步進行推廣，若將氣體從坐標a點壓縮到坐標b點，其所做的功為：

三、結語

運用定積分解決變力做功問題在高中物理中有特定的意義，它為變力做功提供了很好的思路，當我們遇到變力做功問題時，在實際解題時可以采用積分方法進行相應的分析和解答。

參考文獻：

[1]王思思.淺析變力做功的求法[J].學周刊，2011，（27）.

[2]田索海.淺談變力做功的求解方法[J].學周刊，2011，（28）.

[3]蔣海濤.彈簧作功問題研究[J].科教文匯（上旬刊），2007，（1）.