高中數學中的逆向思維解題方法探討

林海

在數學問題的解答過程中，有時從正面入手不易解決，我們不妨從問題條件或結論的反面或者對立面出發，也許會達到“正面困難重重，而反面則海闊天空”的境界.從反面或者對立面入手解決問題的這種思維方法就是逆向思維方法，反映在解證方法上就是反證法.

例1：已知在某20個城市之間共辟有172條航線.試證明：利用這些航線可以從這20個城市中的任何一個城市飛抵其余19個城市中的任何一個城市（包括中轉抵達的情形）.

分析：如果我們從正面入手排出這20個城市之間的172條航線，就會比較復雜.如果我們從問題結論的反面：20個城市中，存在一個城市A，由A僅能飛抵其余19個城市中的n（<19）個城市，那么問題便容易解決了.

證明：假設這20個城市中存在一個城市A，由A僅能飛抵其余19個城市中的n（<19）個城市.今將A及A能飛抵的n個城市歸入集合X，由A不能飛抵的19-n個城市歸入集合Y.于是，在分屬能飛抵其余19個城市中的n（<19）個城市而引起的.所以利用這些航線可以從這20個城市中的任何一個城市飛抵其余19個城市中的任何一個城市.

例2：從1000件產品中任意抽取10件進行質量檢查.假設這1000件產品中恰好有10件次品.記抽出的10件產品中至少有一件次品的事件為A，求A的概率P（A）.

分析：本題若從正面入手，抽出的10件產品中至少有一件次品這一事件A包含了抽出的10件產品中恰好有1件次品，恰好有2件次品，恰好有3件次品，……恰好有10件次品這樣10個事事0]即為所求.

分析：像這種某曲線上不存在任何兩點關于一條給定直線對稱的問題，學生大多感到很陌生，因此從正面入手很難找到解題思路.但學生一般都見過某曲線上存在兩點關于一條給定直線對稱的問題，因此，不妨從問題的對立面去考察.即考察橢圓C上存在關于直線l對稱的兩點P、Q.但如果一般地設點求解，則因計算繁雜還是很難使問題獲解，不妨再逆向點視經過P、Q兩點的直線l′已知.