對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的探討

付懷軍

考查復(fù)合函數(shù)f=f（g（x））的單調(diào)性.

設(shè)單調(diào)函數(shù)y=f（x）為外層函數(shù)，y=g（x）為內(nèi)層函數(shù)，

（1）若y=f（x）增，y=g（x）增，則y=f（g（x））增.

（2）若y=f（x）增，y=g（x）減，則y=f（g（x））減.

（3）若y=f（x）減，y=g（x）減，則y=f（g（x））增.

（4）若y=f（x）減，y=g（x）增，則y=f（g（x））減.

結(jié)論：同增異減.

例1.求函數(shù)f（x）=2的單調(diào)區(qū)間.

解析：首先找出外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)，然后進(jìn)一步求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此題中定義域是一切實(shí)數(shù).

解題過程：

外層函數(shù)：y=2

內(nèi)層函數(shù)：t=x+x-2

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：x∈[-，+∞）

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：x∈（-∞，-]

由于外層函數(shù)為增函數(shù)

因此復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為：x∈[-，+∞）

復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間為：x∈（-∞，-]

評注：在本例題的解題過程中，首先要求出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因?yàn)樵趶?fù)合函數(shù)的單調(diào)性的問題中很多基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)在此處會出現(xiàn)思維混亂，并且這樣可以避免接下來涉及定義域而學(xué)生又容易忽略的情況.

例2.求函數(shù)f（x）=log（x+x-2）的單調(diào)區(qū)間.

解析：此題首先求定義域，這是解決本題的關(guān)鍵.

解題過程：

外層函數(shù)：y=logt

內(nèi)層函數(shù)：t=x+x-2

t=x+x-2>0

由圖知：

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：x∈[1，+∞）

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：x∈（-∞，-2]

由于外層函數(shù)為增函數(shù)

因此復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為：x∈[1，+∞）

復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間為：x∈（-∞，-2]

例3.求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間

解題過程：

外層函數(shù)：y=

內(nèi)層函數(shù)：t=cosx

t=cosx≥0

由圖知：

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：x∈[-+2kπ，2kπ]

內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：x∈[2kπ，+2kπ]

由于外層函數(shù)為增函數(shù)

因此復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為：x∈[-+2kπ，2kπ]

復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間為：x∈[2kπ，+2kπ]

通過以上三個例題的解題過程，得出求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

1.找出外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)；

2.根據(jù)定義域確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

3.根據(jù)外層函數(shù)確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.