巧用變式教學(xué)，構(gòu)建自覺數(shù)學(xué)課堂

周洪琪

“變式”既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學(xué)策略。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以適當(dāng)?shù)匾搿白兪健保粩嗟刈兏鼏栴}的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況下，使事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移和變化，讓學(xué)生從“變化中學(xué)會(huì)變化”，對引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，積極思考，掌握“四基”，發(fā)展“四能”，形成良好的情感態(tài)度和數(shù)學(xué)素養(yǎng)等具有積極的作用。數(shù)學(xué)變式通常可分為概念性變式和過程性變式，下面我結(jié)合日常教學(xué)和觀察，針對“變式教學(xué)”談?wù)劯形颉?/p>

一、通過概念性變式，加深對概念的多維理解

概念性變式包括概念變式和非概念變式兩類，其中“變”的是概念的非本質(zhì)屬性，“不變”的是概念的本質(zhì)屬性，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)概念形成的過程，經(jīng)過抽象、概括、具體化，經(jīng)歷多維理解，使獲得的概念更準(zhǔn)確、穩(wěn)定。

1.概念變式。其主要作用是通過概念外延的變化，使學(xué)生獲得對概念的多角度理解。一個(gè)數(shù)學(xué)概念，不止一個(gè)本質(zhì)屬性，還有更多的非本質(zhì)屬性。如果學(xué)生能夠從不同的角度理解概念，那么，其思維則顯得非常活躍，并容易形成解題方法；反之，則思維遲鈍，很難發(fā)現(xiàn)新問題的解法，或方法機(jī)械呆板。

【案例】在講了“絕對值”（蘇科版七年級上冊第二章）的概念后，為了加深學(xué)生對絕對值概念的理解，我提供了如下變式題。

例題：判斷下列語句是否正確？

（1）5的絕對值是5（ ）

（2） -5的絕對值是-5（ ）

（3）絕對值是5的數(shù)是5或-5（ ）

（4）一個(gè)數(shù)的絕對值不會(huì)是負(fù)數(shù)（ ）

啟示：通過一系列的變式題，提供給學(xué)生從多個(gè)側(cè)面、多個(gè)角度理解概念的機(jī)會(huì)，加深學(xué)生對“絕對值”的幾何意義和代數(shù)意義的本質(zhì)理解，提高學(xué)習(xí)實(shí)效。

2.非概念變式。概念教學(xué)的本質(zhì)是使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，形成科學(xué)的概念認(rèn)知。非概念變式即通過改變一些能混淆的概念的外延屬性——舉反例，使學(xué)生廓清概念的內(nèi)涵和外延。

【案例】蘇科版實(shí)驗(yàn)教科書九年級上冊第五章中圓周角的概念是學(xué)生比較容易混淆的，教學(xué)時(shí)通過適當(dāng)?shù)姆歉拍钭兪竭M(jìn)行辨析（如下圖），能使學(xué)生較輕松地掌握這一概念。

啟示：這里，針對圓周角這一概念的內(nèi)涵與外延設(shè)計(jì)了一組辨析型問題。學(xué)生通過對這些問題的討論和解決，能夠明確圓周角概念的本質(zhì)，深化對圓周角的理解。因此，在概念形成后，不應(yīng)急于讓學(xué)生應(yīng)用概念解決問題，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對概念作進(jìn)一步探討，通過辨析變式和等價(jià)深化變式，使學(xué)生對概念有更深刻的理解，讓學(xué)生既知其然，又知其所以然。

二、借助過程性變式，讓學(xué)生獲得多層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

過程性變式和概念性變式有著本質(zhì)的區(qū)別，前者的目的是提供逐步形成概念的過程，后者是為了從多種角度理解某一概念。在過程變式中，最具代表性的是表面特征變化的水平變式和結(jié)構(gòu)變化的垂直變式。

1.水平變式。基本特征是：通常變更問題的背景（或圖形的形狀），在同一思維平臺(tái)上解決一些同類問題，加深學(xué)生對解題策略的認(rèn)知，積累經(jīng)驗(yàn)。

【案例】蘇科版七年級上冊《§4.3用一元一次方程解決問題》教學(xué)片段

原問題：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機(jī)共340臺(tái)，它們的銷售數(shù)量之比是3﹕6﹕8，請問這三種型號的電視機(jī)各銷售了多少臺(tái)？

變式1：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機(jī)共340臺(tái)，A型與B型的銷量之比是1﹕2，B型與C型的銷售量之比是3﹕4，請問這三種型號的電視機(jī)各銷售了多少臺(tái)？

變式2：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機(jī)共340臺(tái)，其中B型的銷量是A型的2倍，C型是B型的，請問這三種型號的電視機(jī)各銷售了多少臺(tái)？

變式3：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機(jī)共340臺(tái)，A型與B型的銷量之比是1﹕2，C型銷售量是A、B兩種型號銷量之和的，請問這三種型號的電視機(jī)各銷售了多少臺(tái)？

變式4：某單位準(zhǔn)備組織員工（含退休職工）參觀在常州武進(jìn)舉辦的第八屆中國花卉博覽會(huì)，根據(jù)該單位工作安排的需要，共購買了老年（60～69周歲老人）團(tuán)隊(duì)票、指定日普通票和平日普通票340張，其中老年團(tuán)隊(duì)票數(shù)是平日普通票數(shù)的，指定日普通票比老年團(tuán)隊(duì)票與平日普通票的和少100張，請問這三種票該單位各買了多少張？

啟示：以上四個(gè)變式問題，是在原問題的某些條件不變的情況下，改變了另一些條件的給出方式，但解決問題的策略是相同的，思維上層次遞進(jìn)的趨勢，但思維量是基本相當(dāng)?shù)模ù鸢敢捕家粯樱謩e為60，120和160）。其中變式4同時(shí)還更換了富有現(xiàn)實(shí)意義的背景（第八屆花博會(huì)在學(xué)生家鄉(xiāng)地舉行），不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且讓學(xué)生獲得了多題可以一解的感悟，更深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)建模和解決問題的策略的深度認(rèn)知，這樣的“水平變式”極大地提高了學(xué)生的應(yīng)變能力和思維的靈活性。

2.垂直變式。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變化的垂直變式實(shí)際上是以“突破源問題”來體現(xiàn)的，即將源問題升華，其反映的是涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原則等“深層”特征。通過垂直變式，把原來的程序知識(shí)轉(zhuǎn)化為策略知識(shí)，由表層學(xué)習(xí)向結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，逐步增加輸出深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)結(jié)果，逐步增加對數(shù)學(xué)本質(zhì)和深層次數(shù)學(xué)價(jià)值的體會(huì)，逐步增加由起點(diǎn)（例題）到終點(diǎn)（垂直變式問題）深層次的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)關(guān)系。

【案例】問題：如圖3，已知點(diǎn)P為線段AB、線段CD之間的一點(diǎn)，且AB∥CD，你能猜想出∠A、∠P（小于平角的角）和∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明你的理由。

圖3 圖4

變式1：如圖4，已知點(diǎn)P、Q、R為線段AB、線段CD之間的點(diǎn)，且AB∥CD，你能仿照例題的研究方法，猜想出∠A、∠P、∠Q、∠R和∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明你的理由。

變式2：如圖5，已知點(diǎn)P為線段AB外且異于線段CD一側(cè)的一點(diǎn)，且AB∥CD，你能仿照例題的研究方法，猜想出∠A、∠P和∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明你的理由。

變式3：如圖6，已知直線AB∥CD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在直線AB和直線CD上，點(diǎn)P是該平面內(nèi)異于點(diǎn)E和點(diǎn)F的任意一點(diǎn)，試探求∠AEP、∠EPF、∠PFC之間的數(shù)量關(guān)系。只要求寫出關(guān)系式，不要說明理由。

圖5 圖6

啟示：給出原問題后，學(xué)生的思維是開闊的，策略是多樣的，有的延長AP交CD于一點(diǎn)，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形外角知識(shí)解決的（如圖7）；有的過點(diǎn)P作AB的平行線（如圖8和圖9），隨著對變式1的探究，學(xué)生自覺地體悟到用圖9中類似的輔助線作法處理這里的變式問題是比較合適的。其中，變式3的思維量較大，是整個(gè)探究的制高點(diǎn)，根據(jù)“點(diǎn)P是該平面內(nèi)異于點(diǎn)E和點(diǎn)F的任意一點(diǎn)”，要求對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，即點(diǎn)P在直線AB的上方、在直線AB上、在直線AB和直線CD之間、在直線CD上和直線CD的下方，同時(shí)還要考慮點(diǎn)E、F、P三點(diǎn)是否共線及點(diǎn)P是位于直線EF的左側(cè)還是右側(cè)的問題，最后探究共可得13種符合題意的情形。這里，借助三個(gè)垂直變式，將學(xué)生的思維水平向高層次引領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)的深度理解，即最大限度地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開闊學(xué)生的知識(shí)視野，讓學(xué)生在探究知識(shí)的過程中發(fā)展創(chuàng)造意識(shí)和實(shí)踐能力。

圖7 圖8 圖9

變式教學(xué)將數(shù)學(xué)知識(shí)串成一條線，使得整個(gè)教學(xué)過程逐漸增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。當(dāng)然，在應(yīng)用變式組織教學(xué)時(shí)，還必須考慮到適度、梯度和廣度的問題，讓“變式教學(xué)”最大限度地為教與學(xué)服務(wù)。

注釋：

①孫旭花，黃毅英，林智中，張奠宙.問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一.課程·教材·教法，2006（5）.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]潘建明.解讀自覺數(shù)學(xué)課堂[M].南京：江蘇教育出版社，2012.