基于嵌套Archimedean Copula的金融資產相關性研究

杜子平　張雪峰

摘 要：Copula能將單個邊緣分布和多元聯合分布聯系起來，已被廣泛用于金融資產相關性研究。本文利用E-GARCH（1，1）模型來擬合各個外匯市場的日收益率序列，通過構建嵌套Archimedean Copula聯合分布函數，分析美元、港幣、歐元波動相關關系。實證研究表明：嵌套Archimedean Copula能夠很好地捕獲非對稱結構下尾相關性，及較好地刻畫外匯市場的協同波動效應，并且簡化計算量，具有直觀的描述性，有利于進行資產的風險管理。

關鍵詞：E-GARCH；嵌套；Archimedean Copula；協同波動

中圖分類號：F822.0 文獻標識碼：A〓 文章編號：1003-9031（2013）08-0009-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.02

一、引言

在當前全球經濟一體化和近兩年國內股市低迷的宏觀背景下，外匯投資備受關注。任何金融產品投資都有風險，而匯率風險是雙刃劍，其風險源自不確定性，它既可能使企業受損，也可能使其獲益。越來越多的散戶投資者及企業開始進入外匯市場，可以充分利用分析外匯市場的波動來獲取收益。尤其對于出口企業，如何利用風險分析減少外匯風險更為重要，同時還可與政府相關部門、銀行、信用保險部門保持溝通，及時獲知風險預警信息，提高防范外匯風險能力。相關性分析是多變量金融分析中的一個中心問題，資產定價、投資組合、波動的傳導和溢出、風險管理等問題都涉及相關性分析。但是傳統的線性相關系數具有一定局限性。如它要求變量間是線性的，且方差存在，但是金融市場中出現的不少數據往往是尖峰厚尾分布，方差通常為異方差性，有時并不存在。傳統的金融建模工具無法較好地擬合這類建模需求。

Sklar（1959年）提出的Copula理論解決了傳統金融分析中的建模問題，同時可以很好地刻畫變量間的非線性、非對稱性及金融數據呈現出的尾部相關關系[1]。Copula是把多個隨機變量的聯合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來的函數，能夠將多元聯合分布分解為多個邊緣分布和一個Copula乘積的形式，通過聯合函數來捕捉多元變量間的相關性，隨著近些年理論的不斷發展，已經成了資產相關性分析的重要工具。

Marius Hofert and Matthias Scherer通過嵌套阿基米德Copula建模，對債務抵押債券定價問題進行了研究，表明嵌套阿基米德Copula建模的相比可交換類Copula的優勢，并實例分析了債務抵押債券的資產組合定價問題，也充分證明了該模型的優勢[2]。Nelson、Daniel（1991）也首次提出了非對稱波動性的E-GARCH模型[3]。由于金融市場的波動特性——尖峰厚尾非對稱性等，并且就外匯市場而言其對政策的不確定性極其敏感性，這一點通過傳統的正態假設定量建模工具難以刻畫說明。李秀敏、史道濟（2007）實證研究了金融資產的尾部通常呈現不對稱相關性，而Copula函數較好反映這類資產的相關結構[4]。文忠橋、馮德海（2010）通過分析中國股市的非對稱效應也充分證明這點[5]。王昭偉以BEKK-MGARCH模型檢驗了中日韓三國的匯率波動，指出了其具有正向協同波動關系，其聯合干預對匯率協同波動有顯著的政策效應[6]。因此本文引入嵌套阿基米德Copula模型，實證研究外匯市場之間的匯率協同波動相關性。

二、相關理論知識

（一）E-GARCH模型

GARCH模型能夠描述金融序列異方差性，但由于GARCH模型中，正和負沖擊對條件方差的影響是對稱的，因此GARCH模型不能刻畫收益率條件方差波動的非對稱性，Nelson（1991）提出E-GARCH可較好地擬合非對稱波動模型，該模型（Exponential GARCH Model）由均值方程、條件方差方程組成，形式如下：

Rt=f（t，xt-1，xt-2，…）+？著t？著t=？滓tztLn（？滓■■）=？琢0+■？琢ig（zt-i）+■？酌jln（？滓■■）（1）

文忠橋、馮德海在《金融危機下我國股票市場波動非對稱性的實證研究》文中，充分證明了該模型對非對稱金融數據的擬合效果。

（二）Archimedean copulas理論

阿基米德生成元（簡稱生成元）是一連續嚴格單調遞減下凸的函數？漬，滿足？漬（0）=1，？漬（∞）：=limt→∞？漬（t）=0。阿基米德的N維copula函數形式如下：

C（？滋；？漬）=？漬（？漬-1（？滋1）+…+？漬-1（？滋d）），？滋？綴[0，1]d（2）

McNeil AJ （2009）已經證明了定義高維阿基米德生成元的單調性。其中？漬-1為？漬的逆，形式如下：

（？漬-1）（t）=■（3）

（三）嵌套阿基米德

嵌套阿基米德分為全嵌套阿基米德Copula（fully nested Archimedean copula）和部分嵌套阿基米德Copula（partially nested Archimedean copula），它能由隨機變量間的尾部相關性對數據進行初始分類，兩兩組合，逐步構造二元Copula來實現高維Copula建模。這種方法把握住了隨機變量間的主要關系，極大地減少了計算量，使高維建模變得簡單。然而，這種建模方法只適用于阿基米德族Copula函數，同時要求各層間的相關系數逐漸變小。全網絡法和部分網絡法結構圖如圖1、圖2所示：

阿基米德Copula由一個完全單調的算子形成，所包含的函數種類繁多。金融資產發生波動時，我們對其某一資產收益率隨另一個資產收益率下跌的情況比較關注，即對金融市場間的下尾相關系數比較關注。因此我們采用阿基米德Copula函數族中能夠很好地描述下尾相關性的Clayton Copula來建模[7]，其函數表達式如下：

其中，θ為Clayton Copula 系數。

對于隨機變量U=（？滋t，…，？滋n），其對應的多元聯合密度函數f為

Joe（1996）給出用于構建Pair-Copula的條件邊際分布：

定義h函數：

其中，？專為u和v的聯合Copula分布函數的參數集。

三、分層條件Copula構造方法

（一）由于E-GARCH模型對金融收益率的尖峰后尾特性能夠較好地擬合，本文用E-GARCH系列模型對邊緣分布建模，并提取標準化殘差；

（二）檢驗各標準殘差序列，并概率積分變換計算，（0，1）區間內的均勻分布；

（三）進行Copula模型似合估計，得出兩兩金融序列的相關系數；

（四）以上一步為基礎，遞歸循環通過h函數（11）式，建立嵌套Copula模型，研究金融市場間波動相關性。

四、實證研究

（一）樣本選擇與描述性統計

匯率市場的國際化，其波動直接影響到國內進出口、物價、資本流動等，分析其波動的相關性尤為重要。有利于金融機構對匯率風險準確測度。本文選取了以人民幣為中間價的人民幣對美元、人民幣對港幣、人民幣對歐元的日收益率作為研究對象，日收益率為Rt=100×ln（Pt/Pt-1）。

以2005年1月4日至2012年11月20日作為樣本期間，通過Copula函數來分析3個外匯市場間上下尾相關系數的變化。所有數據來源于中國貨幣網。

通過對序列描述性統計性特征分析可以發現，三個序列的收益率偏度、峰度和JB檢驗量均表示市場的收益率不服從正態分布，表明無法使用傳統的正態假設建立模型。三個時期股指日收益率統計性特征分別如下圖所示：

（二）邊際分布建模

大量金融實證研究表明，金融數據具有尖峰厚尾特性及ARCH效應。E-GARCH模型可以很好地刻畫ARCH效應，也能對非對稱尖峰厚尾數據很好描述。Glosten、Jagannathan與Runkel（1989）提出了GJR模型，來衡量收益率波動的非對稱性，在條件方差方程加入負沖擊的杠桿效應，但仍采用正態分布假設。Nelson（1991）提出了E-GARCH模型。Glosten、Jagannathan與Runkel（1993）分析比較了各種GARCH-M模型，指出不同的模型設定會導致條件方差對收益率產生正或負的不同影響。本文通過對幾類GARCH建模及檢驗比較選擇，采用E-GARCH（1，1）模型來擬合收益率序列，其參數估計及檢驗結果如下：

從幾類GARCH建模及檢驗結果來看，E-GARCH（1，1）模型對數據擬合效果好。

（三）嵌套阿基米德條件Copula建模

提取標準殘差序列進行概率積分變換，轉換成獨立同分布的（0，1）區間上的均勻分布，并進行Copula建模。從散點圖（圖4-2）中可以看出兩兩之間有較強的相關性，其kendal，spearman系數表2、表3如下所示：

在阿基米德Copula函數族中，已有研究表明Clayton Copula函數能夠較好描述下尾相關性，所以本文采用Clayton Copula函數進行分析，通過所建模型對三種外匯市場數據兩兩分析得到下尾相關性系數，條件Copula下的下尾相關系數表如下。

由表5可知美元與港幣的相關性較強，而歐元由于其特殊區域性，與美元港元的波動通過此模型并未表現明顯關聯波動。由此可進一步判斷出外匯市場下尾波動的協同性，也可以通過類似的分析方法來判斷外匯市場之間風險傳染的路徑。如上分析數據我們可以得到美元在下尾的波動會直接對歐元港幣有影響，而歐元的下尾波動并沒有對美元及港幣的波動有明顯相關性。通過該模型分析，可以有助于減少人們在外匯市場上的操作風險，并能分析出風險的傳遞路徑。

五、結論與展望

嵌套阿基米德Copula是一個靈活有擴展研究的高維建模工具，而通常使用的Copula如T-copua，高斯Copula等工具的限制條件較多，計算工作量較大，本文通過嵌套阿基米德Copula高維建模，分析2005年1月4日至2012年11月20日作為樣本期間的金融外匯資產相關性，主要考察其下尾波動協同影響。實證研究結果表明外匯市場下尾波動有一定的相關性，并可推斷出其波動傳遞性，通過本文的研究成果對外匯市場波動傳染效應有較大的參考價值。由本文可看出嵌套阿基米德Copula有很高的靈活性、適用性，與其他類Copula相比有減少了大量的計算、宜于構建高維模型等特點，但本文目前只進行了三維建模，未來可以進行更高維的建模及進一步對金融資產風險的實證分析等工作，擴展阿基米德族函數，從而促進該模型更加適用。■

（責任編輯：王艷）

參考文獻：

[1]Whelan， N.Sampling from Archimedean copulas[J]，

Quantitative Finance，2004（4）： 339-352.

[2]Marius Hofert，Matthias Scherer： CDO pricing with

nested Archimedean copulas[J]. Journal of Finance， 2011（5）： 775-787.

[3]Nelson，D.B.Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns： a New Approach[J]. Econometrica， 1991（59）： 347-70.

[4]李秀敏，史道濟.金融市場組合風險的相關性研究[J].系統工程理論與實踐，2007，13（2）：112-117.

[5]文忠橋，馮德海.金融危機下我國股票市場波動非對稱性的實證研究[J].大慶師范學院學報.2010，（2）：31-35.

[6]王昭偉.外匯市場的協同波動與聯合干預[J].國際金融研究，2011（6）：52-60.

[7]韋艷華，張世英.Copula技術及其在金融時間序列分析上的應用[J].系統工程，2003（增刊）：41-45.