“命題的否定和量詞的應用”分析

李志強

摘 要：在全日制普通高中新教材中增加了“簡易邏輯”這一章節(jié)，本章節(jié)對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力會起到很大的作用.但由于在對命題進行否定時，忽略了其中的“量詞”，產(chǎn)生了某些認識上的偏差.下面將針對“命題的否定”作簡要的分析.

關(guān)鍵詞：命題的否定

[中圖分類號]：G426 [文獻標識碼]：A

[文章編號]：1002-2139（2013）-9-0-01

一、三種命題形式

表示數(shù)量的詞稱為量詞.表示整體的全部的叫做全稱量詞，常用的如“所有”、“一切”、“每一個”和“任意一個”等；表示整體的一部分的叫做存在量詞，常用的如“有些”、“至少有一個”和“存在”等.

根據(jù)描述主項的量詞，命題可分為：

全稱命題，一般地，設是某集合的所有元素都具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對中的所有，”的命題。用

存在性命題，一般地，設是某集合的有些元素具有的某種性質(zhì)，那么存在性命題就是形如“存在集合中的元素，”的命題。

特別地，主項為特定的單個個體的命題，稱為單稱命題，其形式為“是（不是）”，其否定為“不是（是）”.

二、命題的否定

設是一個命題，“不成立”即為對命題 的否定（非）.

1、全稱命題的否定

全稱命題可用符號記為“，”

全稱命題其否定為“存在不是（是）”，即“至少有一個不是（是）”，全稱量詞常可省略；

例1 寫出下列命題的否定

（1）對任意的實數(shù)，都有；

（2）所有的矩形都是平行四邊形；

（3）各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)，能被3整除.

（4）每一個四邊形的四個頂點共圓。

（5），的個位數(shù)不等于7。

（6）三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和；

解析：每個命題都含有全稱量詞，所以都為全稱命題，首先將全稱量詞“任意的”、“每一個”、“ ”改為存在性量詞“存在”、“存在一個”、“ ”，然后否定性質(zhì)即可。

其否定分別為：

存在實數(shù)，有

“存在一個矩形不是平行四邊形”

有些各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)，不能被3整除”.

存在一個四邊形的四個頂點不共圓。

，的個位數(shù)等于7.

（6）存在一個三角形，它有一個外角不等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和；

評注：從命題形式看，全稱命題的否定是存在性命題

2、存在性命題的否定

存在性命題可用符號記為“，”，其否定命題為“，”。

例2：寫出下列命題的否定：

（1）有些負數(shù)的絕對值是負數(shù)；

（2）某些梯形是平行四邊形形；

（3），。

（4）存在一個矩形，它的四邊相等

解析：每個命題都含有存在性量詞，所以都為存在性命題，首先將存在性量詞 “有些”、“某些”、“ ”改為全稱量詞“所有”、“每一個”、“” ，然后否定性質(zhì)即可。其否定分別為：

（1）所有負數(shù)的絕對值都不是負數(shù)；

（2）每一個梯形都不是平行四邊形；

（3） ， 。

（4）任意一個矩形，它的四條邊不全相等.

評注：從命題形式看，存在性命題的否定是全稱命題。

3、單稱命題的否定

單稱命題的形式為“是（不是）”，其否定為“不是（是）”.

例3、寫出下列命題的否定：

（1）碳是黑色的；

（2）方程有解；

存在一個實數(shù)：命題⑴、⑵是單稱命題，故其否定分別為“碳不是黑色的”和“方程無解”

4.命題“若……則……”的否定是什么

“若則”的否定是“且非”；

“對于任意的，若則”（“對于任意的”常省略）的否定是“存在，且非”，即只要能否定符合條件的一種情況即可，而不是對符合條件的所有情況加以否定，亦即“對于任意的，若則”的否定應該是“存在使成立而不成立的情況”.

例2 寫出下列命題的否定

（1）若明天下雨，則我不去呼和浩特；

（2）若方程有實根，則太陽繞著地球轉(zhuǎn)；

（3）若方程有實根，則.

（4）若是奇數(shù)，則是偶數(shù).

分析：命題（1）、（2）是“若則”形式的命題，故其否定分別為“明天下雨且我去呼和浩特”和“方程有實根且太陽不繞著地球轉(zhuǎn)”；命題（3）、（4）省略了全稱量詞，補完整后分別為“對于任意的實數(shù)，若方程有實根，則”和“對于任意的實數(shù)，若是奇數(shù)，則是偶數(shù)”，都是“對于任意的，若則”形式的命題，故其否定分別為“存在實數(shù)，使得有實根且”和“存在實數(shù)，使得是奇數(shù)且不是偶數(shù)”.

結(jié)論：看到“若……則……”的命題要在理解語意的基礎上，判斷是否是省略了全稱量詞的情況，再加以否定。

總之，要想寫出命題否定的正確形式，一定要分析清楚命題中的量詞。含有一個量詞的全稱命題和存在性命題的否定有如下結(jié)論：存在性命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是存在性命題。