基于平面擬合的泳道長度計算

金雯

摘 要：上海東方體育中心承辦了2011年第十四屆國際泳聯世界錦標賽。上海東方體育中心包括兩個固定的50 m標準的游泳池，每個泳池有10根泳道，泳道長度必須滿足國際泳聯的要求。為了精確測量泳道的長度，本文介紹了基于平面擬合的計算方法，并將其運用于該工程項目中。

關鍵詞：游泳池 平面擬合 泳道長度

中圖分類號：TP7 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0065-03

上海東方體育中心是為了滿足承辦2011年第十四屆國際泳聯世界錦標賽和舉辦國內外大賽的需要，是進入新世紀后上海市建成的第一個功能性、綜合性重大的體育設施，工程位于黃浦江南延伸段ES4單元中的01、02地塊（黃浦江東、川楊河南、濟陽路西、規劃路北側范圍）。歷時兩年的精心建設，上海東方體育中心共包括1.8萬人的綜合體育館、5000人的室內游泳館、5000人的室外跳水池、新聞服務中心及停車場等主要建筑。

游泳館舉行世錦賽水球項目比賽，館內建成了10泳道標準游泳池、熱身訓練池、跳水池和溫水游泳池各一個，設置座位5000個。室外跳水池舉行世錦賽跳水項目比賽，共包含1個跳水池和1個10泳道標準游泳池，設置座位5000個。

1 泳道長度

東方體育中心的游泳館、室外跳水池內各有一個50 m標準的游泳池（未安裝觸板前泳道長度為51 m），每個泳池分別有10根泳道。根據國際泳聯的相關技術要求，必須對游泳池每根泳道的長度進行高精度測量，計算泳道長度是否符合相關規范要求。

根據《國際游泳聯合會游泳、跳水、水球和花樣游泳設備設施規范》的規定：對于規定的50.0 m長度而言，兩端池壁自水面開始，向上0.3 m和向下0.8 m的范圍內任何一點的允許誤差為+0.03-0m。而對于規定的25.0 m長度而言，兩端池壁自水面開始，向上0.3 m和向下0.8 m的范圍內任何一點的允許誤差為+0.03-0m。

根據以上規定，標準泳道的長度的允許誤差為+0.06-0m。在實際工作中，一般以下列指標作為控制依據：池長50 m的標準泳道，允許誤差為+0.03-0m；池長25 m的標準泳道，允許誤差為+0.02-0m。2008年北京奧運會和2010年的廣州亞運會的游泳池就是按照這個要求進行的。因此本文按照該要求進行測量及計算。

2 平面擬合

平面擬合，其主要任務是根據布設量測點的三維坐標，通過數學擬合的方法得到泳池壁的平面方程以及泳池壁的似中心位置的最佳擬合值。

擬合的方法采用最小二乘法，最小二乘法（least squares analysis）是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。最小二乘法是用最簡便的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小，方程表示為：，為誤差矩陣，為權矩陣。單位權中誤差為：，為觀測數，為必要觀測數，為多余觀測數。

2.1 平面擬合原理

為了擬合平面的方便，將平面方程的表達式定義為：

（C≠0）

令

記：，，

則

對于一系列的n個三維點（n≥3），觀測數據樣本集（，，），

若用點（，，），i=1，……，n，擬合計算平面方程，則使：

最小。

要使d最小，應滿足：，k=1，2，3

即：

有：

或

解上述線形方程組，求出參數，，。

則平面方程為：

將觀測數據樣本集（，，），投影到擬合平面上，設投影后的樣本集為（，，），解算過程如下：

（，，）-（，，）得到一條直線，該直線垂直于擬合平面，故直線方程為：

L：

又

由上兩式可解出（，，），

至此，觀測數據樣本集（，，）就投影到擬合平面上了。

2.2 傾斜角

傾斜角指泳池壁平面與水平面的夾角，即擬合平面與XOY平面的二面角。

擬合平面：，即，

則，法向量為：（，，-1），設為

水平面（XOY平面）：Z=0，法向量：（0，0，1）設為

則

設擬合平面與XOY平面的夾角，即兩個平面的二面角，為，則

為泳池壁平面的傾斜角，可以作為考察泳池壁是否豎直，是否符合規范的一個標準。

2.3 精度分析

平面擬合時，殘差

，

通過對殘差進行分析，可剔除粗差，剔除殘差較大的點位，剔除后重新進行擬合，在無粗差的且殘差在限差范圍內的情況下，解算擬合殘差。

擬合殘差是一個評定擬合結果好壞的重要指標，它表明擬合后的點位與該擬合前點位（即觀測數據）的偏離程度。

總觀測數為N，必要觀測數t=3，故觀測值點位中誤差：

3 泳道長度計算

3.1 測量點布設

泳池每根泳道寬度2.5 m，泳道兩端池壁上有目標線。要精確測量泳道的長度，必須在每根泳道的對稱兩端的池壁上適當位置選擇一定數量的點位進行測量。圖1為東方體育中心室外跳水池游泳池的泳道照片。

在每根泳道兩端的池壁上橫向、豎向均布設三排點位作為測量點，共9點。橫向上面一排為水面線上28 cm位置的測量點，以英文字母“a”開頭；橫向中間一排為水面線下40 cm位置的測量點，以英文字母“b”開頭；橫向下面一排為水面線下80 cm位置的測量點，以英文字母“c”開頭；豎向中間一排的測量點，以數字“2”結尾；豎向左右的兩排分別對稱離開豎向目標線中心80 cm，以數字“1”和“3”結尾。實地布點時，按照以上要求用精密測量尺在瓷磚上畫出“十”字線，作為全站儀測量時的照準位置。見圖2。

一根泳道每端布設9個點，共18個點。整個泳池10根泳道每端對稱90點，共布設點位180點。通過這些點位的測量數據利用平面擬合的原理可以求出每根泳道的長度以及整個泳池的長度。

3.2 點位測量

利用高精度全站儀TCRA 1201的無協作目標測量功能，按照GB/T 15314-94《精密工程測量規范》中精密角度、距離測量的要求，對每個測量點進行精密測量。其中水平角測量1測回，距離測量2測回。距離測量時，需要加入儀器的加、乘常數改正和氣溫、氣壓改正。垂直角的觀測采用中絲法。

3.3 平面擬合

利用邊角測量的方法，按照相關技術要求對現場所布設的測量點進行測量，計算測量點的三維坐標，此處采用的平面坐標系統為假定坐標系統。基于VB平臺，根據平面擬合的原理編制程序（見圖3），根據每根泳道每端所測的9個測量點分別擬合平面，擬合時要注意只有同一泳道面上的點位才能一起擬合，計算各平面的平面參數以及傾斜角。

某泳道的平面擬合方程為：

其中，=-620.9066，=-2.9052，=-18164.0545

該泳道一端泳壁的傾斜角為：θ=89°54′27.8″

測量點的三維坐標、投影到擬合平面的坐標及殘差如表1所示。

為了能更好地顯示平面擬合后各測量點的殘差，程序中用坐標圖的形式表現，橫軸代表點號，縱軸代表殘差大小，單位為mm。

在實際擬合中，發現包含粗差的點位，此時剔除粗差之后重新擬合，得到限差范圍內的擬合平面和殘差。

3.4 長度計算

根據同一泳道每端n個測量點擬合一個平面，擬合同一泳道對稱的2個平面，分別計算各平面的似中心位置，根據中心位置坐標計算泳道的長度。

上例中，通過計算該泳道兩端的似中心位置，計算出該泳道的長度為50.0201 m，與標準泳道50 m較差為2.01 cm，符合+0.06-0 m的允許誤差。

同樣方法，利用平面擬合的方法計算出每根泳道的長度，室外跳水池的游泳池泳道長度結果如下表。最終由10條泳道的長度計算結果可以計算出游泳池兩端池壁的平行度情況。

3.5 數據比較

為了驗證平面擬合的可靠性，對該泳池的10根泳道分別用平面擬合的方法及9組點對點計算距離并求平均長度的方法進行計算，得到泳道的長度，數據如表3。

從表3中數據可以看到，兩種計算方法的較差最大為1.8 mm（2號泳道），精度滿足泳道測量的要求。而平面擬合的方法在擬合過程中還可以剔除粗差數據，重新進行平面擬合及長度計算，從而比第二種方法更保證了數據的可靠性，提高了精度。

4 結語

在進行泳道長度測量時，考慮到比賽設施驗收測量對精度要求極高，傳統測量方法恐難以滿足精度要求，于是拓寬思路、創新思維，從以往隧道測繪方法中汲取靈感，創新采用平面擬合技術對泳道進行測量，這一測量方法通過專業的平面擬合程序實現泳道長度計算程序化、自動化。

本文提出的基于平面擬合計算泳道長度的方法，不僅能夠在剔除粗差之后計算出泳道的長度，檢驗是否符合國際泳聯的標準，而且可以根據傾斜角檢驗泳池壁的豎直情況和平行度情況。上海東方體育中心游泳館及室外跳水池的游泳池的泳道長度計算就使用了平面擬合的方法，實際應用表明該方法能減少測量誤差，提高測量精度，保證成果質量，滿足國際泳聯對泳道長度的要求。

參考文獻

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