基于概率分布模型的暴雨研究

周其龍　梁洪運　劉敏　姚曉超

摘 要：暴雨作為黃河中下游地區主要的氣象災害，每年都對經濟社會產生重要的影響。本文在全面的文獻調查基礎下選取黃河中下游四個代表雨量站：鄭州，西安，延安和太原的1960年至2010年每年5月到9月的逐日降水資料，運用泊松概率分布模式揭示該區域的暴雨統計特征。通過研究我們得出了一個結論，泊松分布模型能較好地反映該地區暴雨的概率特征。在此基礎上我們預測出雨量站一年內發生N次暴雨的概率。研究結果在氣象統計和暴雨預報方面有重要的意義。

關鍵詞：暴雨 概率分布 泊松分布 氣象統計 黃河中下游

中圖分類號：P458.121.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0001-03

在我們的日常生活中，我們經常聽到一些關于暴雨的報道，尤其是在雨季這樣的報道就更加頻繁。如“當地氣象中心稱，暴雨將持續到星期日晚上，超過80 mm的降水將在24小時內落下，暴雨損壞了106749英畝的作物，其中16803被完全摧毀，新華社報道”。我們知道黃河中下游地區是我國一個重要的經濟區域，但是截止到目前累計有21000000畝土地被淹沒過，受影響的有53000000畝土地，11000000畝作物被毀壞和超過5800000間房屋被摧毀。因此十分有必要加強該區域的暴雨預報研究工作。暴雨成災不僅在于其雨量集中性的危害，而且其頻發程度也是產生災害的重要原因之一。不少學者已經注意到暴雨規律性的探討[1～4]，但運用概率分布理論來研究暴雨規律的卻不多見。概率分布理論是一切概率統計學方法最重要的理論基礎，全面描述變量的隨機性可用某種概率分布模式。如氣象極值的漸進分布形態，四參數Kappa分布，三參數Weibull分布，Tippit型及Gumbel分布等概率模式[5～8]。研究重點是，用觀測得到的樣本去擬合某種概率分布模型并估計其參數。

黃河中下游地區暴雨主要集中在每年的5～9月這153天的時間里[9]。在此期間每天發生暴雨的概率很低，而總天數（153天）較大，可見暴雨為稀有事件，所以其概率分布可用Poisson分布來擬合。本文采用Poisson分布模式來研究黃河中下游若干站點近50年暴雨概率分布特征，暴雨頻數分布規律。同時還用建立的模式計算得到各地每年發生n次以上暴雨的概率，為各地暴雨預報提供參考。

1 資料與方法

1.1 資料

氣象統計中規定，日降雨量≥50 mm為暴雨日[10]。數據來源與中國氣象局中國地面國際交換站。選取黃河中下游若干站點歷年暴雨季（5～9月）逐日降水量資料，統計近50年（1961年至2010年）暴雨（日降雨量≥50 mm）日數及其發生頻率。所選各測站站名如表1所示。

1.2 方法

1.2.1 泊松分布

泊松分布是1837年由法國數學家泊松（PoissonS.D.1781-1840）首次提出的。泊松分布在各領域的研究相當廣泛，是一種經典的描述稀有事件頻率分布的概率模式。

泊松分布可以看作二項分布的極限分布。當n很大時，p很小時，可以用泊松分布來計算二項分布。參數是單位時間（或單位面積，體積）內隨機事件的平均發生率.即

（1）

服從泊松分布的隨機變量X的概率分布為：

（2）

該分布僅有一個參數（恒為正）。

遞推公式為：

（3）

可由（3）式得一年中（5～9月）發生k次暴雨的概率P。那么，50年中應有50×P年發生k次暴雨，進而可得50年間每年發生k次暴雨的理論年數。結合各站值和公式（1）則可建立使用黃河中下游的暴雨Poisson分布模型。

根據給出的模型，可以算出各地每年發生n次以上暴雨的概率。

每年發生n次以上暴雨的概率為：

（4）

1.2.2 暴雨分布概率模式研究

選用4個代表雨量站50年（1961年至2010年）逐日降水資料，計算一年中暴雨季（5～9月），每天發生暴雨的概率（表2）。

由表可以看出，鄭州歷年（5～9月）共發生了94次暴雨，延安歷年（5～9月）共發生了38次暴雨，西安歷年（5～9月）共發生了34次暴雨，太原歷年（5～9月）共發生了116次暴雨，且他們每年中（暴雨季）每天發生暴雨的概率分別為0.0122，0.0050，0.0032，0.0152。

以鄭州為例，研究模式擬合問題。

由表2知，鄭州（1951年至2000）50年中（5～9月）共發生了94次暴雨。每年5～9月有153天，在此期間每天發生暴雨的概率為 0.0122.此概率值甚小，而總天數153天較大，可見暴雨是稀有事件。所以，其概率分布可用Poisson分布來擬合。

為求鄭州每年（5～9月）發生k次暴雨的概率，先計算分布參數，然后再按照遞推公式（3）可以求得一年中鄭州發生k次暴雨的概率。易得一年中鄭州發生k次暴雨的理論年數。

根據中國地面國際交換站提供數據可以查詢各站點每年（暴雨季）發生k次暴雨的實際觀測數據（表5）。

各站點Poisson分布的概率模式的理論年數與實測年數的直方圖比較如圖1，2，3，4所示。

2 檢驗與分析

2.1 方法

2.1.1 相關系數

定義：設是一個二維隨機變量，則稱：

為X與Y的相關系數。

是同符號的，即同為正，或同為負，或同為零。這說明，從相關系數的取值可以反映出X與Y的正相關，負相關和不相關。

2.1.2 分析

由表6可以看出鄭州，西安，延安，太原四個站點實測頻數與理論頻數的相關系數分別為0.926，0.993，0.994，0.928。由此可見鄭州，西安，延安，太原暴雨季（5～9月）暴雨日數符合Poisson分布模式。即Poisson分布模式能較好地描述上述站點的暴雨概率分布。

檢驗結果已表明鄭州，西安，延安，太原暴雨概率分布能服從Poisson分布，那么根據表3給出的模式和參數，和公式（5）可以計算出各地每年暴雨季暴雨發生n次以上暴雨的概率（表7）。

3 結論

用Poisson分布理論描述黃河中下游若干站點（西安，延安，鄭州，太原）暴雨季暴雨分布符合情況較好。同時用建立的Poisson理論模式，求得各地每年暴雨季中發生n次以上暴雨的概率，可為各地暴雨預報提供參考。盡管本文選取的站點有限，但根據降雨的區域連續性可以推測出相近或相鄰區域的暴雨情況。本文只能在概率層面上預測出暴雨發生的次數，未能具體到發生暴雨的具體時間或時間段，這也為以后得繼續研究指明了方向。

參考文獻

[1]丁裕國，申紅艷，江志紅，等.氣候概率分布理論及其應用新進展[J].氣象科技，2009（3）.

[2]陳艷秋，袁子鵬，盛永，等.基于概率分析的暴雨事件快速評估模型[J].氣象與環境學報，2006（5）.

[3]于新文，丁裕國.中國東部地區暴雨的概率特征—— 基于泊松分布的統計模擬[J].自然災害學報，2006（4）.

[4]王丙參，魏艷華，孫春曉.泊松分布參數估計的比較研究[J].四川理工學院學報（自然科學版），2011（5）.

[5]顏亦琪，易建軍，孫華安.泊松分布在水文頻率計算中的應用[J].人民長江，2010（12）.

[6]Park J S， Jung H S. Modeling Korean extreme rainfall using a Kappa distribution and maximum likelihood estimate[J].Theoretical and Applied Climatology，2002，7（2）：55-64.

[7]Khan B，Iqbal MM，Yousufzai.MAK （2011） Flood risk assessment of River Indus of Pakistan 4：115–122.Doi： 10.1007/s12517-009-0110-9.

[8]雷鳴，高治定，宋偉華.黃河中游河龍區間區域性暴雨特性分析[J].人民黃河，2012（8）.

[9]劉健，于蘭蘭，翟建青.近50a黃河三角洲極端降水事件特征研究[J].人民黃河，2013（2）.

[10]張廣生.研究暴雨洪水規律，提高洪水預報水平[J].河北水利水電技術，2001（4）.