基于MCMC算法的地質統計學相控反演技術

張恒山 閔小剛

摘 要：地質統計學反演是伴隨著精細油藏描述的需求而出現的，它綜合了統計模擬與確定性反演的優勢，以協同的、穩健的方式獲得多個高細節、等概率的高精度實現，可以無偏的整合不同數據源。反演結果的好壞強烈依賴于地質概念模型或沉積相的空間展布特征，尤其是平面分布特征。文章在地震常規反演的前提下，結合沉積微相認識，引入地質統計學概念并用變差函數表征區域化變量的空間變異性，開展了相控地質統計學反演并成功應用到海上油田精細油藏描述工作中，得到的阻抗、優勢儲層相模型（多個實現）既能滿足平面上沉積相控制的屬性模型趨勢，又能在縱向上劃分出隔夾層，同時可對地震資料的多解性進行有效限制。基于馬爾科夫鏈的蒙特卡羅算法保證了在實際時間界限內收斂到總體最優，當砂泥巖在阻抗上疊置嚴重時提供了一種相對較準確的高精度巖性、物性預測結果。

關鍵詞：地質統計學反演；油藏描述；沉積微相；變差函數

前言

開發地質建模對資料縱向分辨率要求很高，其垂向網格間距可以達到1m，各種隨機模擬算法從井點出發，井間遵從地質統計規律，可以從一定程度上刻畫儲層的非均質性，但由于地質規律本身的復雜性，一個變差函數不足以表達清楚。于是我們想使用地震信息來驅動建模，以保證海上油田橫向預測的準確性，但前提是必須打開地震資料的縱向分辨率，地質統計學反演為我們提供了一種有效途徑，可以說它是伴隨著精細油藏描述的需求而出現的。

地質統計學反演最早由Haas（1994）提出，Dubrule（1998）和Rothman（1998）加以發展，由于反演過程中包容了噪聲，并考慮到數據在一定空間內的相關性，拓寬了地震數據頻帶。國內學者如黃捍東（2007），曾在地震相模型控制下，采用非線性反演算法，通過原始數據將各個單一反演問題轉化為一個聯合反演問題，從而降低了反演在描述參數幾何形態時，單個反演問題的自由度，從本質上提高了地球物理反演的效果和分辨率，并充分考慮地質條件的隨機特性，使反演結果更符合實際地質情況。其不足之處主要在于地震相本身并未脫離地震資料的多解性且無明確的巖性指示意義，同時這種基于高斯分布和貝葉斯理論的非線性反演算法類似于井控提高分辨率，在井間估值時仍然容易陷入局部極大，造成反演結果不確定性因素較多，與沉積相認識也不太吻合，該方法也只是在陸上油田開展了試驗。

鑒于海上油田鉆井少而地震資料信噪比相對較高，而沉積相和成巖儲集相又是影響砂體厚度、幾何形態、分布和物性的最主要因素，本文在地震巖性反演的前提下，結合沉積微相認識，引入地質統計學概念并用變差函數表征區域化變量的空間變異性，開展了相控地質統計學反演并成功應用到海上油田精細油藏描述工作中，得到合理的反映地下實際情況的三維波阻抗、優勢儲層相模型（多個實現）。這就為油層連通性分析、剩余油分布預測以及儲量評價，奠定了可細化的研究基礎。基于馬爾科夫鏈的蒙特卡羅算法保證了在實際時間界限內收斂到總體最優，當砂泥巖性在阻抗上疊置嚴重時提供了一種相對較準確的高精度巖性、物性預測結果。

1 方法原理

1.1 基本原理

地質統計學反演首先應用確定性反演方法得到阻抗體以了解儲層的大致分布，并用于求取水平變差函數；然后從井點出發，井間遵從原始地震數據，通過基于馬爾科夫鏈的蒙特卡羅算法（MCMC）模擬產生井間波阻抗，再將波阻抗轉換成反射系數并與確定性反演求得的子波褶積產生合成地震道，通過反復迭代直至合成地震道與原始地震道達到一定程度的匹配，同時得到與阻抗相吻合的砂泥巖性體。反演過程中充分發揮隨機模擬技術綜合不同尺度數據的能力，如可以綜合層序地層研究與地震解釋成果建立初始框架模型。

統計反演的概率公式體系中，將關于地下參數的先驗信息和由地球物理資料得到的新信息相結合，在模型空間中確定后驗概率分布，此分布包含有關所考慮的反演問題的全部信息。實際先驗信息總是極其復雜的，而且將資料與模型參數聯系起來的理論是非線性的。所有這些因素導致模型空間中的后驗概率分布可能是很難去描述的，既有可能是多峰值的，也有難以確定的成分。當用優化技術獲得最大似然模型時，為使后驗概率分布不陷在次級極大中，常規的序貫高斯等模擬算法就不能滿足地質要求，而馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法具有在實際時間界限內收斂到總體最優的特點（Torres-Verdin，1999），它與統計模擬和貝葉斯判別一道，構成了地質統計反演的三個數學理論基礎。

1.2 基于馬爾科夫鏈的蒙特卡羅算法（MCMC）

MCMC算法是在貝葉斯框架下，利用已有資料和先驗信息進行約束，通過重復抽樣，建立一個平穩分布為所求貝葉斯后驗分布的馬爾科夫鏈，對這些隨機樣本進行統計，間接得到后驗分布的一些性質。由此不僅可以得到每個未知參數的估計值，而且可以得到與之相關的各種不確定性信息。由于目標函數并不限定為單一最優解，所以結果對初始值的依賴性較小。尋優過程可跳出局部最優，得到全局最優解。

2 關鍵步驟

2.1 雙重變差函數分析

變差函數是空間上具有相關性的觀察點的增量平方的數學期望，是精細三維地質建模的關鍵，變差函數的調整很大程度上決定了模型的質量。僅有某些函數能保證數學計算的穩定性，以及對數據的任何線性組合，其方差始終為正。最常用的是Gaussian、Spherical、Exponential變差函數（這些函數可以單獨使用也可以任意組合）。不同變差函數的形狀影響模擬結果，總的來說高斯類型最為光滑，指數類型最為尖銳，而球狀模型介于二者之間。實際采用的變差函數必須與樣本變差函數相匹配，且在大滯后距時數據點數減少，應使用類比或已知大小的地質特征作為輔助。

由于沉積微相或成巖儲集相的平面分布屬于宏觀概念（離散變量），而油藏孔隙度、滲透率、含油飽和度以及阻抗屬性屬于微觀概念（連續變量），二者的尺度不同，變化規律也不盡相同，相變時物性肯定會變，相不變時物性也有可能改變，二者的模擬通常也是不同步的。具體來說，雖然二者的變異方向常具有相關性，但相的變程常大于物性的變程，而且同一時期的河道沉積有砂有泥，這會造成同屬于河道微相，但物性參數存在突變現象。因此，在用相模型嚴格控制油藏物性參數模擬時，不可避免的會涉及到兩次乃至多次變差函數分析時變程的銜接與匹配問題，即雙重變差函數分析。此外，在用基于目標的方法模擬沉積微相時，由于不同微相的尺度、出現的頻次各不相同，也需要進行變差函數的套合，分層次模擬微相，最后進行合并。

因此，只有建立起沉積相變差函數與物性變差函數兩者間的聯系，在計算時相互制約，才能克服單一變函數分析的不足，達到二者的最佳匹配與流程的無縫鏈接。考慮到研究工區內明下段阻抗屬性對成巖儲集相有明顯的區分、指示能力，而孔隙度又與阻抗有很好的線性關系，在沉積相變差函數分析過程中，引入阻抗作為第二變差函數，在對相變程調整過程中實時監控阻抗變差函數的變化，使后者與從稀疏脈沖反演中得到的最小阻抗平面屬性分布特征及概率一致，而在對孔隙度變差函數分析時也是以阻抗變差函數作為第二約束條件。同樣，在對滲透率和含水飽和度變差函數分析時都是以孔隙度作為第二變差（對含水飽和度變差函數分析時同時考慮油水界面的實際位置），從而得到更貼近地質真實的變程。

2.2 統計模擬

以基于像元（網格）的統計模擬為例，其過程可分為兩大環節，即條件累積分布函數的求取及抽樣模擬。對于空間某一網格，假定其分布符合某種概率模型類別，通過推斷模型特征參數（均值和偏差）便可確定其概率密度函數（pdf函數），并可將該函數很容易變換為條件累積概率分布函數（ccdf函數）。

高斯分布是最簡單的概率分布模型之一，其均值和偏差可通過克里金方法求得。其中，克里金估值當作均值，而估值方差的平方根則作為偏差，這是克里金方法廣泛用于隨機建模的根本原因。如果實際的概率分布不符合高斯分布，而又希望應用高斯模型，則需要對原始變量進行“正態得分變換“，而對于變異性強的參數（如滲透率）還需首先進行對數變換。隨機模擬結束后，再對模擬結果進行反變換為實際的儲層參數值。

針對某網格，在得到ccdf之后，通過在縱坐標上任取一個隨機數（為0～1 之間的值），其對應的橫坐標分位數即該網格的模擬實現值。改變隨機數（由計算機自動操作），又可得到另一個模擬實現值。對三維空間的所有網格均進行ccdf的求取及模擬抽樣，便可得到一個三維模擬實現。顯然，統計模擬的精度取決于ccdf，而模擬過程只是描述多解性的一種方法。ccdf曲線越平緩，模擬實現的取值范圍越大，說明多解性越強，極端情況下，ccdf為一條從0值開始的45°的斜線，為純隨機情況；反之，ccdf曲線越陡，模擬實現的取值范圍越小，說明多解性越弱，極端情況下，當ccdf為一條垂線時，所有的模擬實現都是同一值，此時為確定性取值，即確定性建模。盡可能的應用多學科信息，縮小隨機變量的取值范圍（相當于使ccdf曲線變陡），可以提高隨機建模的精度，減小多解性，但不能毫無根據的人為縮小取值范圍。

傳統的直接插值法（如克里金方法）是一種最優、無偏線性估計，它保證了忠實反映井點值和數據空間的相關性（變差函數）。統計模擬除了實現上面兩個要求之外，還保證了模擬結果的概率分布與真實數據的一致。此外，統計模擬還以先驗趨勢的方式使得各種軟約束數據得以加入，這使得地質家的想法能很好的融入模型。采用隨機訪問次序來獲得節點值和把每個節點產生新值后也當作井點一樣看待，這是序貫模擬的兩個主要特征。

2.3 馬爾科夫鏈的構建

3 模型試算

油藏中巖性的分布是模擬油藏屬性參數過程中一個主要的不確定源。MCMC地質統計學反演方法在巖性體識別方面是非常優秀的，巖性屬性伴隨著阻抗一起反演，這比先完成阻抗反演，再用門檻值雕刻巖性要先進的多，且可以識別出更加隱蔽的巖性體。

綜上，基于MCMC算法的地質統計學反演，為了得到真實可靠的反演結果，要求研究區內不同巖性的阻抗分布能嚴格區分，但這在實際上是很難達到的，從而限制了該方法的實際應用。但在有井控制（特別是在井點密集的情況下），通過井數據和地質概念的約束，可以適當放寬砂、泥巖性在阻抗上完全分開的硬性條件（砂泥可以有部分重疊區域），得到與井點吻合、基本符合實際地質情況的多個高分辨率實現，其極大似然值仍然有很高的可信度。不同的實現對規模較大的特征（低頻部分）是相同的，從而以高確定性驗證了地質認識；但對于非常薄的特征，表現出輕微的差異，說明了與此相伴生的不確定性。

4 相控思想的實現

地質統計學反演方法出現以后，為地球物理工作者提供了一種井震結合、打開地震資料縱向分辨率的有效途徑，曾在業內引起了很大的轟動，也取得了一些成功的案例。不同反演方法的波阻抗實現差異明顯，統計模擬主要是井間插值，細節模糊，井眼附近準確，其它位置不能保證；確定性反演主要是優化P波阻抗使得合成記錄（褶積）與實際地震匹配最好，在地震帶寬范圍內準確，其缺陷是不切實際的平滑（造成分辨率較低）且只有一個實現；地質統計學反演綜合了二者的的優勢，以協同的、穩健的方式獲得多個高細節、等概率的高精度實現（1ms×25m的縱橫向分辨率），同時可以保持地震數據本身在橫向上Km級規模的連續性。巖性體所在的位置及其連通性方面的不確定性用巖性體出現的概率來表示。

本文綜合考慮相建模時“相”的定義，首先利用基于目標的方法模擬出各微相的空間分布，將它與基于馬爾科夫鏈蒙特卡羅算法反演出的高分辨率砂泥巖相合并，使得最終的相模型既能滿足平面上沉積相控制的屬性模型趨勢，又能在縱向上劃分出隔夾層，同時能對地震資料的多解性進行有效限制。在此基礎上，按照沉積微相與儲集物性雙重變差函數分析思想，在相模型約束下，分層統計各微相中巖石物性的變差函數，并對其計算方向與變程進行多次調整；最后以地震反射特征為硬約束，再次采用基于馬爾科夫鏈的蒙特卡羅算法，實現了對薄儲層物性的高精度反演。反演過程中采用3個基本約束條件，即相序指導、概率一致、定量地質知識庫與變差函數相結合。

秦皇島32-6油田北區實際資料相控地質統計學反演結果表明，本文從沉積形成與演化的成因角度出發，采用多參數協同、分層次約束的方法指導儲層隨機建模過程，根據沉積相帶的平面展布和垂向演化特征控制建模結果，優選得到的多個模型實現與實際地質和鉆井數據十分吻合。此外，優選模型真實地反映了地下油氣儲層的非均質特性和連通性，且經盲井數據驗證確實有效。通過相控地質統計學反演反映出的地質沉積現象（砂泥巖的形狀）明顯來自地震數據本身，而不是來自模型。

5 結束語

通過采用地質統計學反演，變差函數限制了巖性體的大小，直方圖和巖石類型限制了可能出現的對比差異并輔助限制了厚度，這些協同效應提供了超出地震帶限的細節。統計反演放棄了反射系數稀疏性假設，引入地質體橫向連續性假設，它以犧牲地震局部橫向分辨率來獲得縱向高分辨率的穩定求解。總之，“縱向分辨率得以提高，橫向分辨率盡量不損失，平面屬性特征保持不變以及適當壓制噪音”是基于馬爾科夫鏈的地質統計反演優勢所在。它適合于薄層、互層和巖性尖滅體等復雜油氣儲層的預測，能夠在渤海海域大型油田開發過程中發揮重要作用，算法的先進性保證了反演結果誤差最小。

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