函數與方程思想的應用

張萬庫

函數與方程是兩個不同而又聯系密切的概念。函數是兩個非空數集的元素x，y之間的對應關系，這種對應關系未必都能表示成解析式，函數研究的是由x怎樣確定y，y的變化具有怎樣的特征等。方程是含有未知數的等式，未知數的個數可以是若干個，方程研究的是有沒有未知數的值使方程兩邊相等，以及有多少個（組）未知數的值使方程兩邊相等。如果將x，y視為未知數，則函數y=f（x）就可看成是方程y-f（x）=0，即F（x，y）=0，反之，如果將x，y視為變量，則方程F（x，y）=0就可確定一個（或幾個）函數y=f（x）。函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數解，方程f（x）=g（x）的實數解就是函數f（x）與g（x）的圖像交點的橫坐標。利用函數與方程的內在聯系，可以用函數的定義、圖像、性質解決方程的問題，也可以用方程的同解變形、求解方法解決函數的問題。這就是函數與方程思想的內涵之一。函數與方程思想的這一內涵在歷年的高考中都有直接或間接的考查。

例1 若方程8x=x+b有兩個不相等的實根，求b的取值范圍。

解：由題意可知，對應函數應有兩個不同零點。