用二項式定理解決整除問題舉例

吳開瑞

關于整數的整除性的中學數學習題不少。不少學生認為整數的整除問題非常復雜，尤其在競賽中，一遇到此類問題，學生往往覺得心有余而力不足。如在證明命題“4n+15n-1（n∈N）能被9整除”和命題“62n-1+1是7的倍數（n∈N）”時，很多學生會用數學歸納法來證明它們。但如何更加簡單、有效地證明此類命題呢？筆者認為，二項式定理能很好地解決上述問題，我們有“對于任意的兩個整數a和b（b>0），則有唯一的整數q和r，使得a=bq+r（0≤r

利用二項式定理展開：

N= +15n-1

= +18n

=32 +18n

=9×（ +2n）

所以，由（1）式可知4n+15n-1能被9整除。類似的，我們可以證明上面給出的另一個命題成立。

在上面的命題證明中，我們看到了整除定理和二項式定理的作用。那么，我們能否用二項式定理來解決一般的整除問題呢？讓我們來討論一下這個問題。

首先，筆者給出一些常見的整除定理及證明。如：

定理1 整數a能被2整除的充要條件為a的個位數能被2整除（即個位數為偶數）。

證明：設a=anan-1……a1a0（a>0）

則a=（an10n+an-110n-1+……+a1·10）+a0=2m+a0

所以，若a0能被2整除，則a亦能被2整除；若a能被2整除，則a0亦能被2整除。

定理2 整數a能被3或9整除的充要條件為a的個位數字和能被3或9整除。

證明：設a=anan-1……a1a0（a>0）

則a=an10n+an-110n-1+……+10a1+a0

所以，當a能被3或9整除時，則 能被3或9整除；反之亦然。

定理3 整數a能被11整除的充要條件為a的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差能被11整除。

證明：設a=anan-1……a1（a>0）

則a=an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

=an（11-1）n-1+ an-1（11-1）n-2+……+a2（11-1）+a1

=an +…+11a2-a2+a1

=11m+[（a1+a3+……）-（a2+a4+……）]

所以，結論成立。

在以上定理的建立中，二項式定理起到了“橋梁”的作用。下面，筆者舉例說明幾個利用以上定理來解決整除問題的例子：

例1：若四位數N的前兩位數字相同，后兩位數字又相同，則N一定為11的倍數。

證明：根據題目的意思，可設N=aabb，即N=103a+102a+10b+b。

很顯然，（b+a）-（b+a）=0，而0是11的倍數，所以由定理4可得N是11的倍數。

例2：任一n位數p，將其數字按逆順序重新排列得一個新的n位數q，求證：p-q能被9整除。

證明：設p= anan-1……a1（a>0）

= an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

而q=a1a2……an

=a110n-1+a210n-2+……+an

所以，p-q=（an-a1）10n-1+（ an-1-a2）10n-2+……+（a1-an）

這樣，各位數字之和為 - =0

故由定理2知結論成立。

從以上各例可以看到，二項式定理在解決整除問題中扮演了重要“角色”。靈活使用二項式定理，能簡單有效地解決整數中的整除問題。

（作者單位：江西省橫峰縣新篁學校）