一道經典三角高考題的多角度思考

摘 要：本文根據一道高考題，充分利用發散思維，從不同的角度入手，從不同的思維方法入手，給出了多種解法，以幫助同學們復習鞏固所學知識，充分利用所學知識解決問題.從而培養同學們觀察問題，分析問題，解決問題的能力.

關鍵詞：高考題;多角度思維

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0046-03

例 （2013浙江卷）

已知α∈R，sinα+2cosα=102則tan2α=（）.

A.43B.34C.-34D.-43

這是一道起點低，入口寬，既注重考查基礎知識，又側重于考查思維能力的好題.該題從不同的角度入手，有著多種不同的解法，且各種解法難易，繁簡程度差別很大，充分體現了各種不同的思維層次，有著較高的選拔功能.

思路1 求三角函數值，關鍵是求出sinα，cosα的值，因此，利用同角三角函數關系式與已知條件結合，有如下解法：

解法1 由sinα+2cosα=102及sin2α+cos2α=1，解得：sinα=31010cosα=1010或sinα=-1010cosα=31010.所以tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故選C.

點評 這種解法思路清晰，自然，但計算量較大.

思路2 求tan2α的值，若能求得tanα的值，再利用二倍角公式，就能輕松獲解.由此有下面的解法.

解法2 把已知條件sinα+2cosα=102兩邊平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=52，亦即：tan2α+4tanα+4tan2α+1=52，即：tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故選C.

點評 這種解法把已知條件進行平方，得到了我們熟悉的“齊次式”結構，直接求得了tanα，使得解題過程得以簡化，這是一種整體意識，思維上比解法1進了一步.

思路3 已知條件中的角是α，而要求解的問題中的角是2α.因此，求tan2α的值，把已知條件中的角向2α轉化.

解法3 把已知條件sinα+2cosα=102兩邊平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+2sin2α+4cos2α=52，利用二倍角的降冪公式，有：1-cos2α2+2sin2α+2（1+cos2α）=52，即：4sin2α+3cos2α=0，所以tan2α=-34.故選C.

點評 這種解法從角的不同入手，首先想到變換角度，把角統一起來，使得計算過程大大簡化.在三角變換中，優先考慮角的變化是解三角題的重要思路.

思路4 觀察sinα+2cosα的結構，聯想到輔助角公式，利用輔助角公式獲解.解法4 102=sinα+2cosα=5sin（α+φ），其中sinφ=25，cosφ=15，所以tanφ=2，tan2φ=-43.

所以sin（α+φ）=22，α+φ=2kπ+π4或α+φ=2kπ+3π4.所以2α=4kπ+π2-2φ或2α=4kπ+3π2-2φ.所以tan2α=1tan2φ=-34.故選C.

點評 輔助角變換是逆用三角變換公式的一種重要形式.利用輔助角變換，把要求解問題中的角用引入的輔助角表示出來，使得問題得以獲解.

思路5 這是一個選擇題，解選擇題應“不擇手段”，仔細觀察題目的結構特征及數字信息，直接獲得sinα，cosα的值，使得問題獲解.

解法5 仔細觀察sinα+2cosα=102的結構特征，再由sin2α+cos2α=1，聯想相應地勾股數，可得：

sinα=31010cosα=1010或sinα=-1010cosα=31010.

所以tanα=3或tanα=-13.

所以tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故選C.

點評 解選擇題以快為上，不需要過程，因此，特殊值法是一種重要的解題方法.但需要同學們有敏銳的觀察能力，在三角函數中，利用勾股數類比sin2α+cos2α=1是重要的法寶.

三角函數公式眾多，靈活多變，許多同學在學習過程中陷入其中，繞不出來.實際上，解三角題時，同學們只要抓住弦切的互化，公式的靈活運用，角是否有變化等基本規律，然后仔細觀察題目中的結構特征，數字信息，找出已知條件和求解的問題之間的差異與聯系，抓住角度是否發生了變化這個關鍵，再選擇合適的公式，消除角度的差異，函數名稱的差異，就能獲得解題思路，使得問題得以解決.

咱們再來看一個例子.

已知sinθ+cosθ=15，且θ∈（0，π），求tanθ的值.

解法1 由sinθ+cosθ=15得sinθ=15-cosθ，∴sin2θ=（15-cosθ）2，即25cos2θ-5cosθ-12=0，所以cosθ=45或cosθ=-35.

但當cosθ=45時，sinθ=-35，與θ∈（0，π）矛盾，從而舍去.

所以cosθ=-35，sinθ=45，tanθ=sinθcosθ=-43.解法2 由sinθ+cosθ=15得cosθ=15-sinθ，

∴cos2θ=（15-sinθ）2，

整理并解得：sinθ=45或sinθ=-35.

因為θ∈（0，π），所以sinθ=45，從而cosθ=-35，所以tanθ=sinθcosθ=-43.

解法3 因為sinθ+cosθ=15，所以（sinθ+cosθ）2=125，展開并整理得：

sin2θ=-2425，即2tanθ1-tan2θ=-2425，所以tanθ=-34或tanθ=-43.

由sinθ+cosθ=15>0及sinθ>0可知tanθ<-1，所以tanθ=-43.

解法4 已知條件變為：2tanθ21+tan2θ2+1-tan2θ21+tan2θ2=15，即3tan2θ2-5tanθ2-2=0所以tanθ2=2或tanθ2=-13（舍去）.

所以tanθ=2tanθ21-tan2θ2=-43

解法5 設tanθ=k，即sinθcosθ=k，所以sinθ=kcosθ，代入已知條件sinθ+cosθ=15得：cosθ=15（k+1），所以sinθ=k5（k+1）.

由sin2θ+cos2θ=1即15（k+1）2+k5（k+1）2=1解得：k=-34或k=-34.

再由θ∈（0，π），sinθ>0知： k<-1，所以k=-43.即tanθ=-43.

解法6 由sinθ+cosθ=15得： 2sinθcosθ=-2425，所以1-2sinθcosθ=4925，即

（sinθ-cosθ）2=4925，所以sinθ-cosθ=±75.

由sinθ+cosθ=15sinθ-cosθ=75得sinθ=45cosθ=-35;

由sinθ+cosθ=15sinθ-cosθ=-75得sinθ=-35cosθ=45.

因為θ∈（0，π），所以sinθ=45，cosθ=-35，所以tanθ=sinθcosθ=-43.

解法7 因為15=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4），所以sin（θ+π4）=210.

再由sinθ+cosθ=15<1及θ∈（0，π）知θ∈（π2，π），所以θ+π4∈（3π4，5π4），

從而有cos（θ+π4）=-7210，tan（θ+π4）=-17.

即：1+tanθ1-tanθ=-17，所以tanθ=-43.

解法8 仔細觀察sinθ+cosθ=15的結構特征信息，再由sin2α+cos2α=1，及θ∈（0，π）聯想相應地勾股數，可得：

sinα=45cosα=-35，

所以tanθ=-43.

本例與上面的例子相比較，給出了角的范圍，因此，在解題過程中不要忽視角的范圍，應注意根據給出的數字的大小，適當地縮小角的范圍，或者對求得的結果進行檢驗.

下面再提供幾題，作為練習，請同學們仔細觀察題目中條件的結構特征，給出的數字信息，從多個角度入手，給出不同的解法，并認真比較，尋求最優解答，以期能啟迪同學們的思維，開闊同學的眼界，獲得靈活處理問題的思維方法.

1.已知θ是第二象限的角，且滿足sinθ+cosθ=1-32，求tanθ的值.

2.若π4<θ<π2且sinθcosθ=60169，求tanθ的值.

答案：1.-33 2.125

參考文獻：

[1]田發勝.三角變換的常用方法與技巧[J].中學生百科，2012（23）：35-38.

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