電力系統潮流算法發展綜述

柳影

(廣西電力工業勘察設計研究院，廣西 南寧 530023)

電力系統潮流算法發展綜述

柳影

(廣西電力工業勘察設計研究院，廣西 南寧 530023)

介紹了經典的高斯－賽德爾迭代法和牛頓法，以及牛頓法的演變方法;并介紹了優化算法在潮流計算的應用情況。最后總結了各種算法的特點及適用范圍，為電力工作者選擇合理的潮流算法提供參考。

潮流計算;牛頓法;張量法;潮流優化算法

1 引言

電力系統潮流計算是電力系統穩態運行分析中最基本和最重要的計算之一，也是電力系統其他分析計算的基礎。根據給定的運行條件及系統接線方式確定整個電力系統各部分的運行狀態。在電力系統的規劃設計和運行方式的研究中，都需要利用潮流計算來定量地分析比較供電方案或運行方式的合理性、可靠性和經濟性。潮流計算的任務是采用一定的方法確定系統中各處的電壓和功率分布。由于電壓與功率之間是非線性關系，因此潮流方程是非線性方程，從而使得潮流計算的確定性算法只能采用迭代法求解。本文不僅介紹了潮流計算的一些經典算法，而且對新型的計算方法也作了總結。經典算法有高斯－賽德爾迭代法及牛頓法等，近年來學者們開始應用非線性規劃法及智能算法等優化方法求解潮流問題，提高了收斂的可靠性。

2 潮流計算的數學模型

在工程實際中，潮流計算可歸結為已知各節點的注入功率，求解各節點的電壓向量，進而計算各支路功率。從數學表達式來看，潮流方程的基本表達為節點功率方程式。由于節點電壓可以表示為直角坐標的形式:˙Vi=ei+jfi，也可以表示為極坐標得形式:˙Vi=Viejθi，則節點功率方程具有兩種表達形式:直角坐標形式及極坐標形式，分別為［1］:

其中:n—系統節點數;

Pi、Qi—節點i的有功和無功注入;

ei、fi—直角坐標節點電壓的實部和虛部;

Gij、Bij—節點i和j之間的互電導和互電納;

Vi、θi—極坐標節點電壓的幅值和相角;

θij= θi－ θj—節點i、j之間的相角差。

潮流計算時，一般節點為PQ節點，其有功P、無功Q為給定的，節點電壓為待求量。另外，根據電力系統的實際運行情況，還設置PV節點及平衡節點。PV節點的無功Q可在一定范圍內調節，以維持電壓幅值不變;平衡節點的有功P可以調節，以使得系統有功平衡，每個網絡至少有一個平衡節點。但是，對PV節點，若其無功在計算中已經越限，則需要將其轉換為PQ節點進行計算，即PV-PQ轉換。

由式(1)、(2)可以看出，在數學上是一組多元非線性方程式的求解問題，其解法離不開迭代。因此，對于潮流方程的求解方法，首先要求能夠可靠的收斂，并給出正確的結果。隨著電力系統規模的不斷擴大，潮流問題方程式的變量維數越來越大(目前已經達到幾千維甚至上萬維)，對于這樣大規模的方程式，并不是采用任何數學方法都能保證正確的求解。長期以來，學者們進行了大量的研究，以保證算法收斂的同時求得準確、可靠潮流解。

3 潮流計算的經典方法

3.1 高斯－賽德爾迭代法

高斯－賽德爾迭代法開始于上世紀50年代，是一種直接迭代求解方程的算法，既可以解線性方程組，也可以解非線性方程組。高斯法求解節點電壓的特點是:在計算節點i第k+1次的迭代電壓時，前后所用的電壓都是第k次迭代的結果，整個一輪潮流迭代完成后，把所有計算出的電壓新值用于下一輪電壓新值的計算過程中。

該計算方法簡單，占用計算機內存小，能直接利用迭代求解節點電壓方程，對電壓初值的選取要求不是很嚴格，但它的收斂性能較差，當系統規模增大時，迭代次數急劇上升。為此，文獻［2］在基本高斯－賽德爾迭代法基礎上進一步改進，推導新的電壓向量虛部的迭代公式，新方法減少了迭代次數，也提高了算法的適用范圍。

3.2 牛頓法

牛頓－拉夫森法是求解非線性方程式的有效方法。上世紀60年代就開始應用于潮流計算中，該方法的核心為將非線性方程式的求解過程變為反復對相應的泰勒一次展開式的求解過程，也稱為逐次線性化的過程。牛頓法的潮流求解過程大致分為以下幾個步驟:

(1)給定節點電壓的初值;

(2)根據節點功率方程，計算有功功率誤差及無功功率誤差，若滿足收斂條件則輸出潮流解;

(3)計算修正方程的系數矩陣(雅可比矩陣);

(4)求解修正方程式，得牛頓步長，并修正節點電壓;

(5)返回(2)繼續迭代。

從求解步驟可以看出，牛頓法求解潮流問題的過程，實際上是不斷形成并求解修正方程式的過程。牛頓法的特點是收斂性比較好，一般潮流計算通常迭代6～7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數與電力系統規模關系不大。

在牛頓法的初期研究中，由于計算機的水平有限，如何處理修正方程的內存要求和計算速度有著決定性的影響，牛頓法的應用一度受到了計算規模的限制。然而，隨著計算機水平的發展，無需再對修正方程的處理進行苛刻的要求，因此牛頓法的適用范圍得到擴大。目前，牛頓法已經成為潮流計算最為常規的算法。

3.3 P-Q分解法

P-Q分解法是從牛頓法的基礎上演變而來。將節點電壓向量表示為極坐標形式，潮流節點功率方程式采用式(2)表達，則可根據電力系統的實際物理特點，對牛頓法的數學模型進行適當簡化。

由于高壓電力系統中有功功率潮流主要與各節點電壓相角有關，無功功率潮流則主要受各節點電壓幅值的影響。大量的計算實踐表明，牛頓法修正方程式中電壓幅值對有功的影響及電壓相角對無功的影響在數值上都是比較小的。因此，可以將有功功率只作為修正電壓相角的依據，而無功功率作為修正電壓幅值的依據，從而將二者的修正方程分離開來，前者為電壓相角修正方程，后者為電壓幅值修正方程，二者迭代就可以分開來進行。P-Q分解迭代的步驟大致是:

(1)給定電壓幅值、相角的初值;

(2)計算各節點有功無功誤差，若滿足收斂條件則輸出潮流解;

(3)根據相角修正方程修正電壓相角;(4)根據幅值修正方程修正電壓幅值;

(5)返回(2)繼續進行迭代。P-Q分解迭代過程中，由于把2n階的線性方程組變成了兩個n階的線性方程組，因此計算量和內存方面相對牛頓法都有所改善。因其簡單快速的特點而得到了廣泛的應用。

3.4 張量法

張量法的求解思想同樣與牛頓法類似，但不同于牛頓法的基于泰勒一次展開式進行求解，張量法求解時采用二階泰勒展開式，增加了關于步長的二次項進行計算，使得在雅可比矩陣條件數很大或接近不滿秩的情況下，其收斂性明顯好于牛頓法。張量法主要困難在于如何進行二次項的計算。文獻［3］對直角坐標的潮流方程，引入了兩種張量法進行求解，但要求張量方程具有零根。文獻［4］在極坐標下通過直接計算潮流方程的二次微分，從而得到步長的二次項。該方法在潮流重負荷下明顯改進了收斂性和計算速度。

4 潮流計算的優化方法

4.1 非線性規劃法

非線性規劃法即采用基于非線性規劃模型的算法求解潮流問題。該類算法在數學上描述為求一個由潮流方程構成的目標最小化問題，如帶最優乘子的牛頓潮流算法［5］。在給定運行條件下，若潮流問題有解，則目標值為零;若潮流問題無解，則目標值為一不為零的正值。因此，即使是在病態系統的情況下，迭代過程永遠不會發散。但是，過去的這類算法存在模型復雜、不易編程等缺陷。

文獻［6］基于L1范數計算原理，建立了新穎的最小化潮流計算模型，并轉化為一個不含范數的非線性規劃模型，然后采用現代內點法進行求解。該方法模型直觀、編程方便、收斂性好，能夠處理在潮流問題中的添加不等式約束的擴展潮流問題，使得潮流結果更接近實際運行情況。

文獻［7］將潮流計算中的PV-PQ轉換邏輯表示為互補問題，構造了潮流問題的嚴格混合互補模型，并轉化為目標為常數的優化問題，進而結合內點法與互補松弛進行求解。該方法彌補了PV節點常規啟發式邏輯轉換不穩定的缺陷，提高了結果的可靠性。

4.2 智能算法

近年來，人工智能作為一種新興的方法，也應用到電力系統潮流計算中。這種方法不依賴于精確的數學模型，基于對自然界和人類本身活動的有效類比而搜索潮流結果。文獻［8］將潮流問題轉化為最小化問題，并滿足給定的PQ節點功率限制和PV節點電壓幅值限制等約束，基于遺傳算法的思想，設計了約束潮流遺傳算法。該方法流程簡單，收斂性好，能夠求出滿意的潮流解，而且能夠求出靜態頂值點的潮流解。

5 總結

本文從電力系統潮流算法發展的角度出發，介紹了幾種主要計算方法及其特點。高斯－賽德爾迭代法是早期的一種直接迭代求解法，且收斂性不好，適用范圍有限;P-Q分解法收斂性好，并減少計算量及內存要求，但是隨著計算機水平的提高，牛頓法對計算量及內存的要求問題已不再突出，使得牛頓法在工程實踐中得到廣泛應用，已成為占主導地位的有效算法;張量法因計及了二次項而修正了牛頓方向，從而在重負荷情況下改善了算法的收斂性;非線性規劃法、智能算法具有較好的魯棒性，能夠處理病態潮流問題，并能處理加入不等式約束的擴展潮流問題，這類算法的研究具有理論及工程實際意義。

［1］ 何仰贊，溫增銀．電力系統分析(下冊)［M］．3版．武漢:華中科技大學出版社，2002:57－64．

［2］ 涂志軍，曹曄，李偉，等．一種新型高斯賽德爾算法在電力系統潮流計算中的應用研究［J］．江西科技，2010，28(6):807 －809，813．

［3］ Salgado R S，Zeitune A F．Power flow solutions through tensormethods［J］．IET Generation，Transmission ＆ Distribution，2009，3(5):413 －424．

［4］ 林濟鏗，吳鵬，袁龍，等．基于張量法的電力系統潮流計算［J］．中國電機工程學報，2011，31(34):113 －119．

［5］ Iwamoto S，Tamura Y A．Load flow calculationmethod for ill-conditioned power systems［J］．IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1981，100(4):1736 －1743．

［6］ 韋化，陽育德．基于L1范數和現代內點理論的電力系統潮流計算［J］．廣西大學學報，2007，22(1):31 －36．

［7］ 李保衛，韋化，李濱，等．潮流PV-PQ轉換的混合互補方法［J］．電力系統自動化，2009，33(14):37 －40．

［8］ 張金奎，林蔭字，楊傳忠，等．基于遺傳算法的潮流多根求解方法［J］．重慶大學學報，2000，23(1):56 －59．

Summary for Development of the Power Flow Com putation

LIU Ying
(Guangxi Electric Power Industry Investigation Design and Research Institute，Nanning 530023，China)

Not only classical algorithm is presented in the paper，there are Gauss-Seidel iterativemethod，Newtonmethod and its evolutions，butalso the applications of optimization algorithm for the power flow are introduced．At last，this paper summarizes the peculiarity for the various algorithms，and provides references for the electricity workers．

power flow computation;Newton method;tensormethod;optimization algorithm for power flow

TM71

B

1004－289X(2013)03－0010－03

2012－11－25

柳影(1981－)，女，重慶墊江人，碩士研究生，工程師，從事電力系統規劃與設計相關工作。