相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量

王廷志， 韓 月林

(江南大學(xué) 理 學(xué)院，江蘇 無錫214122)

對稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則，動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性，亦稱不變性。用對稱性方法研究動力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，一直是數(shù)學(xué)物理學(xué)科特別是分析力學(xué)的一個重要發(fā)展方向［1－3］。1997 年，Galiullin A S等在研究Birkhoff系統(tǒng)分析動力學(xué)時，提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念［4］，并討論了Pfaff作用量在無限小變換下的不變性與共形不變性，Lie對稱性與共形不變性之間的關(guān)系。近年來，國內(nèi)學(xué)者深入而廣泛地研究了動力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性，Lie對稱性和形式不變性。近期，有了共形不變性在動力學(xué)系統(tǒng)中新的應(yīng)用研究［5－7］。文獻(xiàn)［8］研究了變質(zhì)量 Chetaev 型非完整系統(tǒng)的共形不變性，文獻(xiàn)［9］研究了相對運動完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量。本文作者研究相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量，推導(dǎo)出相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程具有共形不變性并且是Lie對稱性的充分必要條件，借助規(guī)范函數(shù)滿足的結(jié)構(gòu)方程導(dǎo)出系統(tǒng)相應(yīng)的守恒量，并給出了應(yīng)用算例。

1 系統(tǒng)的運動微分方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)來確定，它的運動受有g(shù)個理想雙面Chetaev型非完整約束

約束方程(1)加在虛位移δqs上的限制為

系統(tǒng)的相對運動微分方程可表示為

方程中Lr=Lr(t，q，˙q)為系統(tǒng)相對運動的Lagrange函數(shù)，Qs=Qs(t，q，˙q)為非勢廣義力mir′i)·(?r′i/?qs)為廣義回轉(zhuǎn)慣性力，其中mi為第i個質(zhì)點的質(zhì)量，Γs=2˙qkω · (mi(?r′i/?qs)×(?r′i/?qk))為廣義陀螺力，其中ω為載體的角速度，λβ= λβ(t，q，˙q)為 Lagrange 乘子。

方程(3)可以表示為

這里

式(6)為相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)(2)(3)相應(yīng)的完整系統(tǒng)表達(dá)式。

根據(jù)方程(6)可解出所有的廣義加速度

2 系統(tǒng)的共形不變性與共形因子

引入時間和廣義坐標(biāo)的無限小單參數(shù)變換群

方程(8)中，ε為無限小參數(shù)，ξ0，ξs為無限小變換生成元。

定義1［10］二階微分方程 Fs，在無限小生成元ξ0(t，q)，ξs(t，q)的變換下，若滿足則稱二階微分方程為共形不變，是非退化矩陣，

稱為共形因子。這里

對于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)(2)(3)相應(yīng)的完整系統(tǒng)(6)，如果無限小生成元 ξ0(t，q，)，ξs(t，q)滿足確定方程

則稱這種對稱性為系統(tǒng)的Lie對稱性。

為求得共形不變性的共形因子，計算差值

因為

又

將式(16)(17)代入式(15)，并考慮到Fs=0時=αs(t，q，˙q)，得到

由于

所以

令

得

如系統(tǒng)具有共形不變性且是Lie對稱性，由式(9)和式(22)可得

即

命題1 對于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)，其共形不變性且是Lie對稱性的充分必要條件是生成元滿足

3 共形不變性與守恒量

由相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性，通過Lie對稱性可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量，有如下結(jié)論。命題2［11］對于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)，如果共形不變性的無限小生成元 ξ0(t，q)，ξs(t，q)和規(guī)范函數(shù)G滿足如下Lie對稱性的結(jié)構(gòu)方程

則相應(yīng)于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)(2)(3)的完整系統(tǒng)(6)的共形不變性存在守恒量

在無限小變換(8)下，非完整約束方程(1)的不變性可表示為限制方程

考慮到非完整約束(2)對無限小生成元ξ0(t，q，˙q)，ξs(t，q)的限制，有附加限制方程

定義2 對于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)，如果無限小生成元 ξ0(t，q)，ξs(t，q)滿足確定方程(13)和限制方程(28)，則這種對稱性為系統(tǒng)的弱Lie對稱性，相應(yīng)的共形不變性是弱Lie對稱性的共形不變性。如果無限小生成元 ξ0(t，q)，ξs(t，q，)滿足確定方程(13)、限制方程(28)及附加限制方程(29)，則稱這種對稱性為系統(tǒng)的強(qiáng)Lie對稱性，相應(yīng)的共形不變性是強(qiáng)Lie對稱性的共形不變性。

由命題2可得如下結(jié)論:

命題 3 如果 ξ0(t，q)，ξs(t，q)是相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)(2)(3)的弱(強(qiáng))Lie對稱性生成元，且存在規(guī)范函數(shù)G滿足結(jié)構(gòu)方程(26)，則相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)(2)(3)的弱(強(qiáng))Lie對稱性的共形不變性導(dǎo)致守恒量(27)。

4 算例

設(shè)一相對運動力學(xué)系統(tǒng)為

式(30)中k，m，ω為常數(shù)，試研究系統(tǒng)的共形不變性與守恒量。

由方程(3)可得

對式(30)最后一式求導(dǎo)，并將式(31)代入可解得

由此得到

將式(32)代入式(31)，可得系統(tǒng)的微分方程

或

取無限小變換生成元為

則

因此，共形因子為

也可從式(25)求出共形因子

顯然與式(37)結(jié)果一樣，共形不變性確定方程為

此時，系統(tǒng)既是共形不變性，又是Lie對稱性的。顯然，相應(yīng)的對稱性是系統(tǒng)的弱Lie對稱性，因為生成元滿足限制方程(28)，但不滿足附加限制方程(29)。

將式(30)、(33)和式(36)代入式(26)可得

將式(39)代入式(27)，得到守恒量

5 結(jié)語

對于相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)在無限小變換下的共形不變性，當(dāng)生成元滿足系統(tǒng)的限制方程(28)或限制方程(28)和附加限制方程(29)時，可得到系統(tǒng)弱或強(qiáng)Lie對稱性的共形不變性，共形不變性滿足一定的條件，可導(dǎo)致相應(yīng)的守恒量。

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