立體式教學模式的研究與實踐——以《實變函數》課程為例

文 斌 劉春妍 康兆敏

（佳木斯大學理學院 黑龍江佳木斯 154007）

目前，高等師范院校大學生就業難與用人單位“人才”難覓的悖論促使高等教育工作者不得不深思：如何立足專業課程體系改革教學方法、創新教學模式、適時更新教學內容，培養出適應社會需求的高層次人才。為適應大類招生的需要，根據多年的教學管理與實踐，筆者從創新教學模式入手，在我校數學與應用數學本科專業的課程教學中進行大膽的探索與研究，以《實變函數》這門公認的數學專業課程體系中既難教又難學的課程為例，通過2005-2008級等四屆學生的教學實踐與效果反饋，在激發學生的學習興趣，增強其獨立思考問題、分析問題與解決問題的能力方面有所體悟。

《實變函數》是高等院校數學本科專業學生的一門重要的專業課程。它是《數學分析》的延續和發展，是現代數學各個分支的基礎之一；它的任務是使學生掌握近代抽象分析的基本思想，系統掌握Lebesgue測度與積分理論，著重培養學生的思維能力和邏輯推理能力。其中的Lebesgue測度與積分理論已經成為數學工作者的基礎知識。然而，由于該課程概念性強、內容抽象、推理嚴謹，在學術界一直被公認為是數學專業課程體系中的兼教師難教與學生難學為一體的課程之一。

一、立體式教學模式的涵義

立體式教學是新形勢下的一種全新的教學方式，它是在教學活動中能使學生的認知過程、情感過程和意志過程等得到協調發展的一種教學方法。立體式教學模式不僅僅是現代化教學手段的變革，還是教育觀念的變革，教育理論的變革，對教育模式和教育體系的改革具有積極的作用。本文的立體式教學模式是指針對學生的情況和所講授課程的內容設計出立體的網絡結構，交叉運用多種教學手段和輔助設備，使學生有目的、感興趣、自覺地完成問題的發現和解決，并通過教學反饋及時完善的一種教學模式，強調“學生學習主動化、資源整合多元化、課程講授多樣化、學習支持立體化”。

二、立體式教學模式的實踐探索

（一）立體化夯實課程基礎

通過多媒體課件形象生動地展現本門課程創立的主要過程：首先介紹本門課程的起源和主要創始人創立本課程的目的、簡單過程及其主要成果；同時建立其與其它課程的聯系，使學生了解本課程的研究目的和發展過程，消除其對新課的陌生感。《實變函數》是十九世紀末、二十世紀初，主要由法國數學家Lebesgue創立的。它是普通微積分學的繼續。Lebesgue針對Riemann可積暴露出的一些不足創立了Lebesgue測度和積分。Riemann積分的不足主要表現為以下兩個方面：其一，Riemann意義下可積函數類太小。只有具有限個不連續點或個別具有可數多個不連續點的函數 （例如區間 [0,1]上的 Riemann函數）是Riemann可積的，而許多形式非常簡單的函數，例如[0,1]上的Dirichlet函數都不可積這一不足；其二，有些條件過于嚴格，影響了Riemann積分的實踐應用。例如，積分與極限運算交換次序的條件過于嚴格。在《數學分析》中我們知道【2】，要求函數列在區間上一致收斂于fn(x)，每一fn(x)都在[a,b]上連續，才有這樣通過鋪設問題環境，激發學生的學習興趣。

（二）立體化搭建知識框架

布魯納總結出的四個數學學習原理，其中關聯原理是指應把各種概念、原理聯系起來，在同一的系統中學習。我們首先通過一個實例弄清本門課程的研究思路：根據函數Riemann積分存在的一個充要條件，即若函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]上插入分點 a=x0＜x1＜ …＜xn-1xn＝b

把[a,b]分成 n 和小區間[xi-1,xi](i＝1,2…，n)，記

有

可知Dirichlet函數：

在任意區間上的振幅，從而對于積分區間[0,1]上的任何Riemann定義下的分劃后所求得的振幅和得到此函數Riemann不可積。究其原因可能是出在Riemann積分中對于積分區域的分劃要求過于狹隘。如果根據Dirichlet函數在有理點取1，無理點取0這一特點把積分區間[0,1]簡單的分劃成兩個集合：E1={[0,1]上的有理數}和E2={[0,1]上的無理數}，則函數在這兩個集合上的振幅和就滿足可積的條件了。據此我們是否可以考慮定義一個新的積分，通過分劃被積函數的值域：m=y0＜y1＜…yn-1＜yn＝M，令 Ek=E[yk-1≤f≤yk](k=1,2,…n)則振幅和變成（yk-yk-1）·mEk，其中表示的測度（現可簡單理解為一種“長度”）。由于此時的不再是簡單的區間。這提示我們應當首先要研究一般集合的性質及其何時存在測度。這應該看成是《實變函數》的第一、二部分內容——集合論和測度論（包括集合的測度和函數的測度）。接下來研究滿足什么要求的函數才可積，即《實變函數》的第三部分內容——積分論。這三個板塊都是后者以前者為基礎，環環緊扣。以大家熟悉的集合知識為起點，以我們熟知的Riemann可積函數為基礎，由淺入深，符合學生的認知規律。

（三）立體化設計教學環節

結合所講授內容的實際，選定不同的教學方法，激發學生的學習興趣，逐步訓練和培養學生的創新能力。特別注意以下教學環節的運用。

1.重視有助于獨立思考與合作的自學

自20世紀50年代中期以來，數學家華羅庚曾多次倡導“要學會自學”、“要學會讀書”，他認為“學生在校學習期間，學會讀書與學得必要的專業知識是同等重要的。學會讀書不但保證我們在校學習好，而且保證我們將來永遠不斷地提高”。布置自學內容，學生利用課外時間研讀和小組內討論，最后在課堂上由小組選派代表進行講解。講授期間允許提問和討論。通過學生的講解和討論，充分鍛煉學生積極思考、發現問題、獨立和合作解決問題的能力。

2.引入有助于知識理解與應用的史料

通過多媒體課件展示、提供相關的網址或鏈接，介紹部分定理或定義的產生背景和耐人尋味的實際應用背景。史料的引入使學生體會到《實變函數》這門課程在整個學科課程體系中的地位和作用，同時也讓學生經歷了一個科學家發現問題并解決問題的過程。通過潛移默化的熏陶，啟迪學生的科學思維方法，培養學生探索新知識的意識和掌握獨立解決問題的能力。

3.布置有助于知識拓展的課后思考題

在數學教學中，學生受本身知識結構、思維定勢以及知識點的難易程度、周圍環境的干擾等因素的影響，對某些知識點可能不能當堂領會。作為課堂教學的補充與深化，教師有針對性的布置課后思考題。這樣做既能加深學生對知識點的理解與掌握，又能鍛煉學生獨立思考和創新能力，同時對激發學生的求知欲，完成學生發現學習【3】的過程。例如，在研究 Cantor集【4】的基數（或稱勢）時，學生往往因為對此集合所包含元素了解不夠全面，會產生只包含分點（k/3n，其中n為正整數，k為小于3n的某些正整數）的錯覺。讓學生在課后根據Cantor集是閉集這一性質，設法找到分點以外的點（如1/4等）。引發學生的探索和創造靈感。

4.強化有助于知識融會貫通的小結

在完成一章的學習后，要求每一名學生寫出本章小結。要求以最簡潔的語言列出本章所學到的主要內容；用自己的語言說明定理；掌握本章的重點及其與以上章節內容之間的聯系。通過學生自我將本章內容化繁為簡，鍛煉其學會動腦和動手。在全部完成本課程的講授時，要求學生根據每章內容之間的關系繪出一個交叉網絡圖，使學生將全部知識融會貫通，減輕學生期末復習的壓力。

三、校驗教學效果

通過教學反饋可以校驗課程的教學效果，我們通過多種方式、多種途徑對教學效果進行全方位收集與分析總結。

（一）教師可以通過課堂上觀察學生的身體反應（主要是面部反應）和提問來了解學生對每個問題的掌握情況。課后及時將針對某個知識點好的教學手段（或方法）和沒收到預期效果的知識點記錄下來，設法通過以后章節的教學彌補不足。

（二）通過定期的調查問卷及時掌握教師在每個章節教學進度的快慢、學生的理解程度和學生自主學習遇到的困難。

（三）通過期末考試了解絕大多數學生經過本門課程的學習后的整體掌握情況和出現問題的知識點（或章節）。

（四）考研與工作中，這些第一手材料都是下一輪教學的重要參考資料，經過幾輪的修訂與嘗試不斷完善我們的教學。

盡管我們對立體式教學模式進行了初步的實踐探索與研究，但隨著學生自身狀況與社會現實需求的不斷變化，對教學模式的研究也將永無止境。“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江河”，我們將繼續對立體式教學模式進行深入研究與推廣，力爭培養出適應時代需求的高層次專業人才。

[1]周興和，葉惟寅.實踐中的好課與好課的實踐，[J].數學教育學報，2005，（2）：80-82.

[2]復旦大學數學系，陳傳璋等.數學分析（下冊）[M].高等教育出版社，2004,70-71.

[3]鄭君文，張恩華.數學學習論[M].廣西教育出版社，1996,27-28.

[4]周民強.實變函數論[M].北京大學出版社，2001,55-57.